Mostrare che dato un qualsiasi primo $p$, esistono degli interi $x,y,z,w$ che soddisfano
$$x^2+y^2+z^2-wp=0$$ e $0<w<p$
$x^2+y^2+z^2-wp=0, 0<w<p$
$x^2+y^2+z^2-wp=0, 0<w<p$
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Re: $x^2+y^2+z^2-wp=0, 0<w<p$
Supponiamo di avere già $x,y,z$ tali che
$x^2+y^2+z^2\equiv 0\pmod p$
Allora, poiché $x^2\equiv (p-x)^2\pmod p$
Possiamo sempre scegliere
$x,y,z\le \frac {p-1} 2$
Quindi $x^2+y^2+z^2<p^2$
Ora, supponiamo che esistano $a$ e $-a$ positivi tali che siano entrambi residui quadratici modulo $p$
Allora scegliamo $x^2\equiv a\pmod p$
$y^2\equiv -a\pmod p$
$z=0$
$x^2+y^2+z^2\equiv 0\pmod p$
Se non esistono $a$ e $-a$ con quelle caratteristiche significa che i non residui sono tutti e soli gli opposti dei residui
Ora, noi cerchiamo dunque $2$ residui la cui somma non sia residuo
Ma se non esistessero significherebbe che la somma di $2$ residui é sempre un residuo
Ma $1$ é residuo
Quindi lo sarebbero $1+1=2,2+1=3,\ldots ,p-2+1=p-1$ assurdo
Quindi devono esistere $x,y,z$ tali che $x^2+y^2\equiv -z^2\pmod p$
Segue la tesi
$x^2+y^2+z^2\equiv 0\pmod p$
Allora, poiché $x^2\equiv (p-x)^2\pmod p$
Possiamo sempre scegliere
$x,y,z\le \frac {p-1} 2$
Quindi $x^2+y^2+z^2<p^2$
Ora, supponiamo che esistano $a$ e $-a$ positivi tali che siano entrambi residui quadratici modulo $p$
Allora scegliamo $x^2\equiv a\pmod p$
$y^2\equiv -a\pmod p$
$z=0$
$x^2+y^2+z^2\equiv 0\pmod p$
Se non esistono $a$ e $-a$ con quelle caratteristiche significa che i non residui sono tutti e soli gli opposti dei residui
Ora, noi cerchiamo dunque $2$ residui la cui somma non sia residuo
Ma se non esistessero significherebbe che la somma di $2$ residui é sempre un residuo
Ma $1$ é residuo
Quindi lo sarebbero $1+1=2,2+1=3,\ldots ,p-2+1=p-1$ assurdo
Quindi devono esistere $x,y,z$ tali che $x^2+y^2\equiv -z^2\pmod p$
Segue la tesi
Dispongo di una meravigliosa dimostrazione di questo teorema che non può essera contenuta nel margine troppo stretto della pagina
Re: $x^2+y^2+z^2-wp=0, 0<w<p$
Come fanno ad essere entrambi positivi?aetwaf ha scritto: Ora, supponiamo che esistano $a$ e $-a$ positivi
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Re: $x^2+y^2+z^2-wp=0, 0<w<p$
Forse intendeva \(a, p-a\) ..?
\( \displaystyle \sigma(A,G) \ \ = \sum_{Y \in \mathscr{P}(A) } \dot{\chi_{|G|} } (Y) \) bum babe
Re: $x^2+y^2+z^2-wp=0, 0<w<p$
Mi pare giusta Un altro modo poteva essere quello di prendere $x\equiv 1$ e poi ragionare su $y,z$ e notare dopo 1-2 passaggi che per il principio dei cassetti sicuramente esiste coppia di residui quadratici la cui somma è quella desiderata.
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Re: $x^2+y^2+z^2-wp=0, 0<w<p$
Sí intendevo $a$ e $-a$ modulo $p$ cioé $a$ e $p-a$
Scusate l'imprecisione
Ho provato in vari modi col pigeonhole ma non ne uscivo in fretta quindi ho optato per un'altra soluzione
Scusate l'imprecisione
Ho provato in vari modi col pigeonhole ma non ne uscivo in fretta quindi ho optato per un'altra soluzione
Dispongo di una meravigliosa dimostrazione di questo teorema che non può essera contenuta nel margine troppo stretto della pagina