Strette di mano

[Ratman98]

Il seguente problema rientra nell'ambito della matematizzazione: Ci sono n persone. Dimostrate che alla festa almeno due persone hanno stretto lo stesso numero di mani. Volevo dimostrarlo per induzione, dato che per n=2 le strette di mano scambiate sono certamente le stesse, ma poi non ho saputo proseguire... e chiedo aiuto

[Kopernik]

Suggerimento:

Testo nascosto:

Potresti anche usare il principio dei cassetti

[Ratman98]

Innanzitutto grazie Kopernik , mi ero intestardito nel voler usare l'induzione e ho 'volutamente' dimenticato il principio dei cassettoni(cosa difficile dato che il problema si trovava a fine del capitolo in cui il principio veniva trattato). Abbiamo n persone, ognuna delle quali può stringere al più n-1 mani; e a questo punto è già tutto chiaro, ma volendo 'formalizzare' , immaginiamo n-1 cassettoni , a ognuno dei quali associamo un numero diverso,uguale al massimo ad n-1. Se vogliamo mettere ogni persona in un cassetto ci sarà almeno un cassetto con due persone per il suddetto principio, alle quali rimarrà associato quindi lo stesso numero di strette di mano. Ora però, correggimi se sbaglio, il ragionamento vale solo se escludiamo la possibilità che ogni persona non abbia stretto alcuna mano,il che non mi pare si possa dedurre dalla traccia(anche questo forse mi ha inizialmente frenato nel seguire questa direzione).Solo per curiosità, conosci un modo per dimostrare tramite induzione?
Comunque sia, ancora grazie.

[Drago96]

Allora, con calma: i cassetti in teoria sono con $0, 1, 2,\dots n-1 $ strette di mano, e sono $n $, quindi in teoria non puoi dire nulla... quindi ti piacerebbe dire che se in un cassetto c'è qualcosa, allora un altro è vuoto, così porti il numero di cassetti a $ n-1 $... come hai detto, devi lavorare su quello con 0 strette di mani: quale cassetto esclude? Da quale è escluso?
Per induzione non saprei, lo vedo alquanto difficoltoso...

[Ratman98]

... che figura barbina; se c'è una persona che non ha stretto nessuna mano, di conseguenza non può essercene una che ne ha strette n-1, perché altrimenti questa persona l'avrebbe stretta anche alla prima, il che non è. Così i cassettoni sono sempre n-1 ed il mio dubbio era infondato.Grazie Drago!

[fph]

Perché figura barbina? Non c'è niente di cui essere imbarazzati. Risolvendo questo problema abbiamo tutti pensato inizialmente "potrei usare i cassetti, ma ce n'è uno di troppo", e poi (dopo un po' di tempo o un aiutino) si capisce il trucco. Ci siamo passati tutti. Non ti fare troppi complessi (nel senso psicologico, non di $\mathbb{C}$).

[Ratman98]