Stesso numero di divisori in sequenze crescenti

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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jordan
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Stesso numero di divisori in sequenze crescenti

Messaggio da jordan »

Trovare tutte le sequence strettamente crescenti di interi positivi $x_1,x_2,\ldots$ tali che il numero di divisori di $i+j$ è uguale al numero di divisori di $x_i+x_j$.
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Lasker
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Re: Stesso numero di divisori in sequenze crescenti

Messaggio da Lasker »

Prendendo $i=j=2^{p-2}$ e chiamata $d(n)$ la funzione aritmetica che conta il numero dei divisori di $n$, la condizione del problema ci dice che:
$$d(2^{p-2}+2^{p-2})=d(x_{2^{p-2}}+x_{2^{p-2}})\ \ \ \Rightarrow\ \ \ d(2^{p-1})=d(2x_{2^{p-2}}) \ \ (1)$$
Ma, conoscendo la fattorizzazione di $n=\prod_{k=1}^u p_k^{\alpha_k}$, la $d$ si esprime semplicemente come
$$d(n)=\prod_{k=1}^u (\alpha_k+1)\ \ \ (2)$$
e quindi, espresso $2x_{2^{p-2}}$ come $\prod_{k=1}^v q_k^{\beta_k}$ e sostituendo la $(2)$ nella $(1)$ otteniamo
$$p=\prod_{k=1}^v (\beta_k+1)$$
Abbiamo scritto un primo come prodotto di robe, cosa che ovviamente non può funzionare troppo spesso. In particolare si deduce che solamente uno dei $\beta_k$ è diverso da $0$ (chiamiamolo pure WLOG $\beta_1$), e dunque c'è solamente un primo $q_1$ che divide $2x_{2^{p-2}}$, il quale non può che essere il $2$ già messo in evidenza. Ma allora $x_{2^{p-2}}=2^m$ con $m\in\mathbb{N}$, mettendo insieme questa nuova informazione con le equazioni $(1)$ e $(2)$ si ha
$$p=m+2\ \ \Rightarrow \ \ m=p-2 \ \ \Rightarrow \ \ x_{2^{p-2}}=2^{p-2}\ \ \forall \ p\in\mathbb{P}$$
Visto che la sequenza è strettamente crescente e $x_1\geq 1$, si mostra con una semplice induzione che $x_n\geq n\ \ \forall\ n\in\mathbb{N}$, inoltre se per un certo naturale $m$ si avesse $a_m>m$, lo stesso dovrebbe valere per tutti gli $m'>m$ (ancora induzione banale), assurdo perché è possibile scegliere primi arbitrariamente ENORMI per i quali vale (per quanto detto prima) $x_{2^{p-2}}=2^{p-2}$. Ma allora deve essere $x_n=n\ \forall\ n\in\mathbb{N}$, successione che chiaramente verifica tutte le ipotesi del problema ed è quindi l'unica soluzione.
"Una funzione generatrice è una corda da bucato usata per appendervi una successione numerica per metterla in mostra" (Herbert Wilf)

"La matematica è la regina delle scienze e la teoria dei numeri è la regina della matematica" (Carl Friedrich Gauss)

Sensibilizzazione all'uso delle potenti Coordinate Cartesiane, possano seppellire per sempre le orride baricentriche corruttrici dei giovani: cur enim scribere tre numeri quando se ne abbisogna di due?

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jordan
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Re: Stesso numero di divisori in sequenze crescenti

Messaggio da jordan »

Bene :wink:
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