Polinomio Curioso

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
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LorMath97
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Polinomio Curioso

Messaggio da LorMath97 »

Sia $ P(x) $ un polinomio avente tre radici reali $ a,b,c $. Sapendo che :

$ P(\frac{1}{2}) $ + $ P(-\frac{1}{2}) $ = $ 1000P(0) $

Determinare $ \frac{a+b+c}{abc} $


La risposta numerica è $ 1996 $ (Era di una gara a squadre).
Grazie in anticipo :)
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Drago96
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Re: Polinomio Curioso

Messaggio da Drago96 »

Non ho provato, ma sappiamo anche che il polinomio è di terzo grado?
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mr96
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Re: Polinomio Curioso

Messaggio da mr96 »

Supponendo che il polinomio sia di terzo grado abbiamo, per le formule di Viète:
$ P(\frac{1}{2})=\frac{1}{8}-\frac{1}{4}(a+b+c)+\frac{1}{2}(ab+bc+ac)-abc $
$ P(-\frac{1}{2})=-\frac{1}{8}-\frac{1}{4}(a+b+c)-\frac{1}{2}(ab+bc+ac)-abc $
$ P(0)=-abc $
Da cui
$ P(\frac{1}{2})+P(-\frac{1}{2})=1000P(0)=-1000abc=-\frac{1}{2}(a+b+c) - 2abc $, quindi $ \frac{a+b+c}{abc}=1996 $
Ultima modifica di mr96 il 05 gen 2015, 02:50, modificato 1 volta in totale.
DamianoY
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Re: Polinomio Curioso

Messaggio da DamianoY »

mr96 ha scritto:Supponendo che il polinomio sia di terzo grado abbiamo, per le formule di Viète:
$ P(\frac{1}{2})=\frac{1}{8}+\frac{1}{4}(a+b+c)-\frac{1}{2}(ab+bc+ac)+abc $
$ P(-\frac{1}{2})=-\frac{1}{8}+\frac{1}{4}(a+b+c)+\frac{1}{2}(ab+bc+ac)+abc $
$ P(0)=abc $
Da cui
$ P(\frac{1}{2})+P(-\frac{1}{2})=1000P(0)=1000abc=\frac{1}{2}(a+b+c) + 2abc $, quindi $ \frac{a+b+c}{abc}=1996 $
Per voler essere precisi(ssimi) (torna lo stesso in questo caso), non dovrebbe essere:
$ P(\frac{1}{2})=\frac{1}{8}-\frac{1}{4}(a+b+c)+\frac{1}{2}(ab+bc+ac)-abc $
$ P(-\frac{1}{2})=-\frac{1}{8}-\frac{1}{4}(a+b+c)-\frac{1}{2}(ab+bc+ac)-abc $
$ P(0)=-abc $
?

Ovviamente il risultato poi è lo stesso...
mr96
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Re: Polinomio Curioso

Messaggio da mr96 »

DamianoY ha scritto:
mr96 ha scritto:Supponendo che il polinomio sia di terzo grado abbiamo, per le formule di Viète:
$ P(\frac{1}{2})=\frac{1}{8}+\frac{1}{4}(a+b+c)-\frac{1}{2}(ab+bc+ac)+abc $
$ P(-\frac{1}{2})=-\frac{1}{8}+\frac{1}{4}(a+b+c)+\frac{1}{2}(ab+bc+ac)+abc $
$ P(0)=abc $
Da cui
$ P(\frac{1}{2})+P(-\frac{1}{2})=1000P(0)=1000abc=\frac{1}{2}(a+b+c) + 2abc $, quindi $ \frac{a+b+c}{abc}=1996 $
Per voler essere precisi(ssimi) (torna lo stesso in questo caso), non dovrebbe essere:
$ P(\frac{1}{2})=\frac{1}{8}-\frac{1}{4}(a+b+c)+\frac{1}{2}(ab+bc+ac)-abc $
$ P(-\frac{1}{2})=-\frac{1}{8}-\frac{1}{4}(a+b+c)-\frac{1}{2}(ab+bc+ac)-abc $
$ P(0)=-abc $
?

Ovviamente il risultato poi è lo stesso...
Yep, ho invertito i segni, la stanchezza gioca brutti scherzi :lol:
DamianoY
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Re: Polinomio Curioso

Messaggio da DamianoY »

:wink:
LorMath97
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Iscritto il: 17 mag 2014, 18:34

Re: Polinomio Curioso

Messaggio da LorMath97 »

Grazie infinite :)
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