Differenza di potenze con il medesimo esponente
Differenza di potenze con il medesimo esponente
Mi chiedevo(non senza ragione) se esistono più modi di fattorizzare ( x^n - y^n ) quando n è pari.
Re: Differenza di potenze con il medesimo esponente
Quand'è che per te due modi di fattorizzarlo si considerano distinti?
"Quello lì pubblica come un riccio!" (G.)
"Questo puoi mostrarlo o assumendo abc o assumendo GRH+BSD, vedi tu cos'è meno peggio..." (cit.)
"Questo puoi mostrarlo o assumendo abc o assumendo GRH+BSD, vedi tu cos'è meno peggio..." (cit.)
Re: Differenza di potenze con il medesimo esponente
So che per ogni intero la scomposizione in fattori è unica. Considero due scomposizioni distinte quando sono scritte in una forma diversa(anche se significano la medesima cosa). Nel caso specifico ho trovato che, rispetto alla quantità di prima, oltre alla scomposizione (x-y)*( ... ) c'è anche (x+y)*( ... ).
Re: Differenza di potenze con il medesimo esponente
Beh, $x^{2n}-y^{2n}=(x^n-y^n)(x^n+y^n)$ e poi le somme e sottrazioni le spezzi... se $n$ è dispari, tiri fuori $x+y$, mentre c'è sempre un $x-y$...
Se no, tagliamo la testa al toro e usiamo i ciclotomici: $x^n-y^n=y^n((\frac x y)^n-1)=\prod_{d\mid n} y^{\varphi(d)}\Phi_d(\frac x y)$ e lì ci sono tutti i fattori possibili come polinomi a coefficienti interi
Se no, tagliamo la testa al toro e usiamo i ciclotomici: $x^n-y^n=y^n((\frac x y)^n-1)=\prod_{d\mid n} y^{\varphi(d)}\Phi_d(\frac x y)$ e lì ci sono tutti i fattori possibili come polinomi a coefficienti interi
Imagination is more important than knowledge. For knowledge is limited, whereas imagination embraces the entire world, stimulating progress, giving birth to evolution (A. Einstein)
Re: Differenza di potenze con il medesimo esponente
Innanzitutto grazie , anche se i ciclotomici li conosco solo per definizione. La seconda scomposizione viene: (x+y)*[x^(n-1) - x^(n-2)*y ... + x*y^(n-2) - y^(n-1)} . Mi è capitata in una provinciale e credevo fosse utile(non indispensabile) tenerla a mente.