Parità in Tartaglia

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matpro98
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Parità in Tartaglia

Messaggio da matpro98 » 20 mar 2015, 23:40

Quanti sono i numeri dispari nelle prime $n$ righe del triangolo di Tartaglia (o Pascal)?

PIELEO13
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Re: Parità in Tartaglia

Messaggio da PIELEO13 » 22 mar 2015, 22:04

Qualche indizio?

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Lasker
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Re: Parità in Tartaglia

Messaggio da Lasker » 22 mar 2015, 22:20

C'è un fatterello simpatico che lega la divisibilità del coefficiente binomiale ${n \choose k}$ per un primo $p$ alle scritture di $n$ e $k$ in base $p$ (vedi il teorema di Lucas); in questo caso mi sembra che sia conveniente guardare prima la singola riga (con $n$ fissato, $k$ che varia da $0$ ad $n$ e $p=2$) e poi estendere il ragionamento per tutte le altre (poi magari l'osservazione che cito non c'azzecca nulla e c'è un modo infinitamente più furbo, ma ad occhio mi sembrerebbe funzionare :wink: )
"Una funzione generatrice è una corda da bucato usata per appendervi una successione numerica per metterla in mostra" (Herbert Wilf)

"La matematica è la regina delle scienze e la teoria dei numeri è la regina della matematica" (Carl Friedrich Gauss)

Sensibilizzazione all'uso delle potenti Coordinate Cartesiane, possano seppellire per sempre le orride baricentriche corruttrici dei giovani: cur enim scribere tre numeri quando se ne abbisogna di due?

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matpro98
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Re: Parità in Tartaglia

Messaggio da matpro98 » 23 mar 2015, 07:04

Il teorema di Lasker sembra interessante, ma da quel che ho capito è anche un po' lungo... e se vi sporcaste un tantino le mani? ;)

matpro98
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Re: Parità in Tartaglia

Messaggio da matpro98 » 24 mar 2015, 07:03

Vi dico qualcos'altro ;)
Testo nascosto:
provate il caso più semplice in cui $n=2^a$

polarized
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Re: Parità in Tartaglia

Messaggio da polarized » 08 apr 2015, 08:48

:D Altro hint?
In geometria tutto con Pitagora, in Algebra tutto con Tartaglia

matpro98
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Re: Parità in Tartaglia

Messaggio da matpro98 » 08 apr 2015, 14:02

Dovreste aver notato, credo,
Testo nascosto:
una certa regolarità.
Come si sfrutta?

Simone97
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Re: Parità in Tartaglia

Messaggio da Simone97 » 12 apr 2015, 18:43

Fino alla riga $ 2^n $ ci sono $ 3^n $ dispari.
Se $ 2^m $ è la massima potenza di $ 2 $ minore o uguale a di $ k $, la riga $ k $ ha il doppio di dispari della riga $ k-2^m $. Da qui, con qualche considerazioni sulla scrittura in base $ 2 $ del numero di riga, si arriva facilmente al numero di dispari nelle righe precedenti. Giusto? :D

matpro98
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Re: Parità in Tartaglia

Messaggio da matpro98 » 12 apr 2015, 19:26

Mmm, più o meno, sì

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