SNS 2015 - 1

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
Rispondi
Avatar utente
Drago96
Messaggi: 1147
Iscritto il: 14 mar 2011, 16:57
Località: Provincia di Torino
Contatta:

SNS 2015 - 1

Messaggio da Drago96 »

Siano $I,J$ due insiemi finiti e sia $P: I\times J\to [0,1]$ una funzione. Definiamo $\displaystyle m_i=\min_{j\in J} P(i,j)$ per ogni $i$ fissato e $\displaystyle M_j=\max_{i\in I} P(i,j)$ per ogni $j$ fissato. Siano ora $$\displaystyle L=\max_{i\in I} m_i\;\;\;\text e\;\;\;\displaystyle L'=\min_{j\in J} M_j$$
Dire se uno tra $L$ ed $L'$ è sempre maggiore o uguale dell'altro e mostrare un caso in cui la disuguaglianza è stretta (ovvero non vale l'uguale).
Imagination is more important than knowledge. For knowledge is limited, whereas imagination embraces the entire world, stimulating progress, giving birth to evolution (A. Einstein)
Avatar utente
jordan
Messaggi: 3988
Iscritto il: 02 feb 2007, 21:19
Località: Pescara
Contatta:

Re: SNS 2015 - 1

Messaggio da jordan »

Traduzione: chi conosce limsup e liminf?
The only goal of science is the honor of the human spirit.
RiccardoKelso

Re: SNS 2015 - 1

Messaggio da RiccardoKelso »

Il difficile di questo problema penso che sia la decifrazione del testo (cosa che non ho ancora portato a compimento). Comunque immagino che moolto a spanne la soluzione sia del tipo: il minimo dei massimi sarà sempre maggiore o uguale al massimo dei minimi, altrimenti avremmo un minimo maggiore di un massimo.
Simone97
Messaggi: 13
Iscritto il: 07 mar 2015, 12:12
Località: Piacenza

Re: SNS 2015 - 1

Messaggio da Simone97 »

Provo.
Sia $ a $ tale che $ L=\displaystyle m_a $. Allora, per minimalità di $ \displaystyle m_a $ si ha che per ogni $ j $, $ P(a, j) \ge \displaystyle m_a $. Analogamente, sia $ b $ tale che $ L'=\displaystyle M_b $. Allora, per massimalità di $ \displaystyle M_b $ si ha che per ogni $ i $, $ P(i, b) \le \displaystyle M_b $.
Ma dunque $ L'=\displaystyle M_b \ge P(i, b) \ge P(a, b) \ge \displaystyle m_a=L $.
Perché non ci sia uguaglianza basta una qualsiasi scelta di $ P $ per cui $ P(a, b) $ sia diverso da almeno uno tra $ L' $ e$ L $.
Ha senso?
Rispondi