I problemi che non vorresti venissero in baricentriche

Rette, triangoli, cerchi, poliedri, ...
Rispondi
cip999
Messaggi: 148
Iscritto il: 26 nov 2013, 14:44

I problemi che non vorresti venissero in baricentriche

Messaggio da cip999 » 27 mar 2016, 00:03

Sia $ABC$ un triangolo e sia $m$ una retta che incontra i lati $AC$ e $AB$ in punti ad essi interni $E$ ed $F$, rispettivamente, e che interseca la retta $BC$ in un punto $D$ tale che $C$ è compreso tra $B$ e $D$. Le parallele ad $m$ per $A$, $B$, $C$ intersecano nuovamente la circoscritta ad $ABC$ nei punti $A_1$, $B_1$, $C_1$, rispettivamente. Dimostrare che le rette $A_1D$, $B_1E$, $C_1F$ passano per uno stesso punto.
Ultima modifica di cip999 il 27 mar 2016, 01:07, modificato 1 volta in totale.
- E cosa c'è di peggio del suicidio?
- La vita.

matpro98
Messaggi: 457
Iscritto il: 22 feb 2014, 18:42

Re: I problemi che non vorresti venissero in baricentriche

Messaggio da matpro98 » 27 mar 2016, 01:01

Quale dei due $D $ è $F $?

cip999
Messaggi: 148
Iscritto il: 26 nov 2013, 14:44

Re: I problemi che non vorresti venissero in baricentriche

Messaggio da cip999 » 27 mar 2016, 01:08

Wops, il primo, grazie della segnalazione! (E buona Pasqua :) )
- E cosa c'è di peggio del suicidio?
- La vita.

Giovanni_98
Messaggi: 69
Iscritto il: 10 apr 2015, 18:19

Re: I problemi che non vorresti venissero in baricentriche

Messaggio da Giovanni_98 » 29 mar 2016, 19:21

Testo nascosto:
Per prima cosa dimostriamo che il punto d'intersezione fra $B'E$ e $C'F$ sta sulla circoscritta ad $ABC$. Per dimostrarlo supponiamo di avere solo $E$ fissato su $AC$ e chiamiamo $Q$ l'intersezione fra $B'E$ e la circoscritta e sia $F$ l'intersezione fra $AB$ e $QC$. Notiamo che vale $\angle EAF = \angle EQF$ pertanto $AQEF$ è ciclico, ma poichè lo è anche $AQCC'$ e $E \in AC$ deve valere $EF || CC'$ . Adesso notiamo che $\angle B'QC = \angle BCC'$ poichè $BC' = B'C$ dato che $BB' || CC'$ e $BB'CC'$ ciclico, mentre per il parallelismo fra $ED$ e $CC'$ vale $\angle DCC' = \angle EDC$ da cui si ricava $QDCE$ ciclico. Adesso notiamo che $\angle QEF = \angle C - \angle QCE$ ma per la ciclicità appena dimostrata $\angle QCE = \angle QDE$ pertanto $\angle QED + \angle QDE = \angle C$. In precedenza abbiamo dimostrato che $\angle EQF = \angle A$ quindi $\angle FQD = \angle B$ e poichè $\angle A'QC' = \angle B$ poichè $AA'BB'$ è trapezio iscoscele poichè $AA' || BB'$ ove quindi $AC=A'C'$ e $F \in QC'$ vale che $Q,A',D$ sono allineati e che quindi quelle tre rette schifose concorrono in $Q$.
Da dove viene il problema?

cip999
Messaggi: 148
Iscritto il: 26 nov 2013, 14:44

Re: I problemi che non vorresti venissero in baricentriche

Messaggio da cip999 » 30 mar 2016, 12:46

Giovanni_98 ha scritto:e che quindi quelle tre rette schifose concorrono in $Q$.
Ahahahahah
Giusta ovviamente (modulo un paio di typo, ma vabbè...) :)

Un altro modo di vederla potrebbe essere
Testo nascosto:
Prendo il punto di Miquel di $ABC$ ed $m$ e faccio vedere che concorrono in quello (sono due angoli da spostare).
Comunque BMO 2006.
- E cosa c'è di peggio del suicidio?
- La vita.

Giovanni_98
Messaggi: 69
Iscritto il: 10 apr 2015, 18:19

Re: I problemi che non vorresti venissero in baricentriche

Messaggio da Giovanni_98 » 30 mar 2016, 14:53

Ok grazie xD

Rispondi