Equazione negli interi
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Equazione negli interi
Dimostrare che la seguente equazione non ha soluzioni negli interi:
m^2=(n^5)-4
m^2=(n^5)-4
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Re: Equazione negli interi
Oppure per farlo in modo super swag
Testo nascosto:
Un bresciano esportato nel cremonese
-"Dal palazzo di giustizia di Catania o esci con più soldi di prima, o non esci proprio"
-"Baroni uscirebbe con un Win - Win".
Tutti si mettono a ridere, e allora intuisco che non aveva detto "Weed - Win" come avevo capito.
-"Dal palazzo di giustizia di Catania o esci con più soldi di prima, o non esci proprio"
-"Baroni uscirebbe con un Win - Win".
Tutti si mettono a ridere, e allora intuisco che non aveva detto "Weed - Win" come avevo capito.
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Re: Equazione negli interi
Ottimo Sirio!
Cosa intendi con mod 11 AlexThirty?
(Cioè so cosa significa, ma non capisco come vuoi usarlo...)
Cosa intendi con mod 11 AlexThirty?
(Cioè so cosa significa, ma non capisco come vuoi usarlo...)
Re: Equazione negli interi
Quali sono i residui quadratici modulo 11? E i residui quinti? C'è una combinazione di questi che risolve l'equazione (modulo 11)?nuoveolimpiadi1999 ha scritto:Ottimo Sirio!
Cosa intendi con mod 11 AlexThirty?
(Cioè so cosa significa, ma non capisco come vuoi usarlo...)
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Re: Equazione negli interi
Grazie mr96 però non ti seguo...
(So cosa sono i residui quadratici però non ho capito bene come fare in questo modo a risolvere il problema .)
(So cosa sono i residui quadratici però non ho capito bene come fare in questo modo a risolvere il problema .)
Re: Equazione negli interi
Le potenze quinte modulo 11 fanno 0,1,10, quindi il termine a destra è 6,7,8 modulo 11, ma nessuno di quei 3 è residuo quadratico, quindi non ci sono soluzioni
- Gerald Lambeau
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Re: Equazione negli interi
Piccolo trucco: $11$ non è scelto a caso. Se si ha una diofantea con tutti gli esponenti noti, si prenda il loro multiplo comune più piccolo (non necessariamente il minimo comune multiplo!) tale che esso incrementato di $1$ sia primo. Quel primo è quello il cui modulo dobbiamo guardare.
Nel nostro caso siamo fortunati, infatti basta il minimo comune multiplo: $2 \cdot 5+1=11$ (in generale preferiamo guardare solo quello, altrimenti si rischia di beccare un primo troppo grande affinché il trucco funzioni bene).
Spieghiamo ora perché il trucco funziona così bene con primi relativamente piccoli (=vicini al minimo comune multiplo degli esponenti):
modulo un primo $p$ esistono $\displaystyle \frac{p-1}{MCD(k, p-1)}+1$ residui $k$-adici modulo $p$; se noi sappiamo che $k \mid p-1$, siamo certi che quel numero sarà minore di $p$. Ancora meglio se $p-1$ è il minimo comune multiplo degli esponenti, perché sì minimizza il numero di casi possibili.
Avendo pochi casi, se siamo fortunati la diofantea non potrà essere rispettata da nessuna combinazione di moduli.
Nel nostro caso siamo fortunati, infatti basta il minimo comune multiplo: $2 \cdot 5+1=11$ (in generale preferiamo guardare solo quello, altrimenti si rischia di beccare un primo troppo grande affinché il trucco funzioni bene).
Spieghiamo ora perché il trucco funziona così bene con primi relativamente piccoli (=vicini al minimo comune multiplo degli esponenti):
modulo un primo $p$ esistono $\displaystyle \frac{p-1}{MCD(k, p-1)}+1$ residui $k$-adici modulo $p$; se noi sappiamo che $k \mid p-1$, siamo certi che quel numero sarà minore di $p$. Ancora meglio se $p-1$ è il minimo comune multiplo degli esponenti, perché sì minimizza il numero di casi possibili.
Avendo pochi casi, se siamo fortunati la diofantea non potrà essere rispettata da nessuna combinazione di moduli.
"If only I could be so grossly incandescent!"
- karlosson_sul_tetto
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Re: Equazione negli interi
Non mi torna molto questo passaggio... con questa definzione $m=n-a$ e quindi $m^2=n^2-2an+a^2$; inoltre dopo il termine noto dovrebbe essere $-4-a^2$ (e quindi non fattorizzabile)Sirio ha scritto:$a:=n-m$
L'equazione data è equivalente a:
$n^2+2an+a^2=n^5-4$
$n^5-n^2-2an+(4-a^2)=0$
"Inequality happens"
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"Chissa se la fanno anche da asporto"
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"Chissa se la fanno anche da asporto"
Re: Equazione negli interi
Ho fatto un po' di casino coi segni, è vero...
$T=\sqrt{\dfrac l g 12\pi}$