Polinomi
Re: Polinomi
Questo fatto dovrebbe essere dimostrato in circa tutti i video dei Senior passati. Ti do un paio di hint per una possibile strada:
- Fallo sulle somme di potenze, cioè $\sum_{i=0}^{q-1}i^k\equiv0$; poi sui polinomi segue per linearità.
- Fissa un certo $x$ e capisci cos'è la somma $\sum_{i=0}^{q-1}(xi)^k$
- Fallo sulle somme di potenze, cioè $\sum_{i=0}^{q-1}i^k\equiv0$; poi sui polinomi segue per linearità.
- Fissa un certo $x$ e capisci cos'è la somma $\sum_{i=0}^{q-1}(xi)^k$
Imagination is more important than knowledge. For knowledge is limited, whereas imagination embraces the entire world, stimulating progress, giving birth to evolution (A. Einstein)
Re: Polinomi
Colgo l'invito e provo a proporre una cosa, nonchè cogliere lo spunto per chiedere
Qualche informazione utile che posso trarre da quella sommatoria? Il non conoscere numeri e polinomi di Bernoulli non è particolarmente d'aiuto.
Testo nascosto:
Re: Polinomi
I numeri di Bernoulli $B_k$ sono semplicemente dei numeri razionali, ed è qua che sta il problema: non puoi dire "tutti gli $(n+1)^h$ sono multipli di $q$, quindi anche una loro somma con coefficienti lo è" appunto perché i coefficienti sono razionali e quindi potrebbero avere dei $q$ a denominatore.
In realtà penso che si possa concludere anche con la formula di Faulhaber, dato che i denominatori dei Bernoulli sono "conosciuti".
Comunque non pensavo assolutamente a quella formula, suggerivo solamente di semplificare un po' il problema e ragionare solo sui monomi.
E per mostrare che sui monomi fa $0$ conosco almeno un paio di strade: una è quella che ho scritto nel secondo punto, l'altra usa i generatori.
In realtà penso che si possa concludere anche con la formula di Faulhaber, dato che i denominatori dei Bernoulli sono "conosciuti".
Comunque non pensavo assolutamente a quella formula, suggerivo solamente di semplificare un po' il problema e ragionare solo sui monomi.
E per mostrare che sui monomi fa $0$ conosco almeno un paio di strade: una è quella che ho scritto nel secondo punto, l'altra usa i generatori.
Imagination is more important than knowledge. For knowledge is limited, whereas imagination embraces the entire world, stimulating progress, giving birth to evolution (A. Einstein)
Re: Polinomi
Alla fine ho intrapreso una via credo abbastanza strana ma molto funzionale, con la quale ho dimostrato che ciò vale quando l'esponente è un qualsiasi dispari e ho dimostrato poi che per l'esponente q-1 la sommatoria non è valida: riapplicare il procedimento per l'esponente dispari nel caso di un esponente pari mi porta a dover dimostrare che È utile proseguire da lì nel caso di esponenti pari?
Testo nascosto:
Re: Polinomi
Questa cosa è banalmente equivalente alla tesi: $(q-x)^{2h}\equiv x^{2h}\pmod q$ quindi $\sum_{i=0}^{q-1}i^{2h}\equiv2\sum_{i=0}^{\frac{q-1}2} i^{2h}$
Non so quale delle due sommatorie ti sia più comoda, e soprattutto come tu l'abbia dimostrato per gli esponenti dispari, che probabilmente sarebbe comodo per darti un aiuto.
Hai provato a vedere come lo dimostrano nei Senior passati?
Imagination is more important than knowledge. For knowledge is limited, whereas imagination embraces the entire world, stimulating progress, giving birth to evolution (A. Einstein)
-
- Messaggi: 91
- Iscritto il: 03 giu 2018, 17:46
Re: Polinomi
Visto che si sta già parlando di sommatorie volevo chiedere che se abbiamo per esempio una funzione [math]e abbiamo per esempio una somma del tipo [math] posso dare per scontato che [math] sia uguale a [math]o devo dare delle spiegazioni(appunto quando devo mandare i problemi del senior)? mi scuso subito per la domanda ignorante.
Re: Polinomi
Banana quella proprietà misteriosa dovresti averla studiata in prima elementare circa la settimana dopo che hanno introdotto i numeri da 1 a 10 ![Rolling Eyes :roll:](./images/smilies/icon_rolleyes.gif)
![Rolling Eyes :roll:](./images/smilies/icon_rolleyes.gif)
"Una funzione generatrice è una corda da bucato usata per appendervi una successione numerica per metterla in mostra" (Herbert Wilf)
"La matematica è la regina delle scienze e la teoria dei numeri è la regina della matematica" (Carl Friedrich Gauss)
Sensibilizzazione all'uso delle potenti Coordinate Cartesiane, possano seppellire per sempre le orride baricentriche corruttrici dei giovani: cur enim scribere tre numeri quando se ne abbisogna di due?
PRIMA FILA TUTTI SBIRRI!
"La matematica è la regina delle scienze e la teoria dei numeri è la regina della matematica" (Carl Friedrich Gauss)
Sensibilizzazione all'uso delle potenti Coordinate Cartesiane, possano seppellire per sempre le orride baricentriche corruttrici dei giovani: cur enim scribere tre numeri quando se ne abbisogna di due?
PRIMA FILA TUTTI SBIRRI!
-
- Messaggi: 91
- Iscritto il: 03 giu 2018, 17:46
Re: Polinomi
Premetto che no, non ho guardato i Senior passati (e d'altronde sarebbe decisamente tedioso andare alla ricerca di una singola dimostrazione in mezzo ad anni di video...), per quanto riguarda invece gli esponenti dispari:Drago96 ha scritto: ↑03 lug 2018, 23:25Questa cosa è banalmente equivalente alla tesi: $(q-x)^{2h}\equiv x^{2h}\pmod q$ quindi $\sum_{i=0}^{q-1}i^{2h}\equiv2\sum_{i=0}^{\frac{q-1}2} i^{2h}$
Non so quale delle due sommatorie ti sia più comoda, e soprattutto come tu l'abbia dimostrato per gli esponenti dispari, che probabilmente sarebbe comodo per darti un aiuto.
Hai provato a vedere come lo dimostrano nei Senior passati?
Testo nascosto:
Re: Polinomi
Guardati la lezione di darkcrystal al senior 2014, N medium
"Una funzione generatrice è una corda da bucato usata per appendervi una successione numerica per metterla in mostra" (Herbert Wilf)
"La matematica è la regina delle scienze e la teoria dei numeri è la regina della matematica" (Carl Friedrich Gauss)
Sensibilizzazione all'uso delle potenti Coordinate Cartesiane, possano seppellire per sempre le orride baricentriche corruttrici dei giovani: cur enim scribere tre numeri quando se ne abbisogna di due?
PRIMA FILA TUTTI SBIRRI!
"La matematica è la regina delle scienze e la teoria dei numeri è la regina della matematica" (Carl Friedrich Gauss)
Sensibilizzazione all'uso delle potenti Coordinate Cartesiane, possano seppellire per sempre le orride baricentriche corruttrici dei giovani: cur enim scribere tre numeri quando se ne abbisogna di due?
PRIMA FILA TUTTI SBIRRI!
Re: Polinomi
Grazie mille! Ho visto la dimostrazione e ne ho approfittato per vedere la parte del video precedente in cui si trattava dei generatori mod p; se posso considerare noto il fatto che ne esistono $\varphi(p-1)$ o anche solo almeno 1 mi risparmio una bella catena di dimostrazioni, ho notato.
Re: Polinomi
Sì sì dallo pure per noto, quello è "teoria standard olimpica".
--federico
[tex]\frac1{\sqrt2}\bigl(\left|\text{loves me}\right\rangle+\left|\text{loves me not}\right\rangle\bigr)[/tex]
[tex]\frac1{\sqrt2}\bigl(\left|\text{loves me}\right\rangle+\left|\text{loves me not}\right\rangle\bigr)[/tex]