Cubi perfetti

[Sypo12]

Altro giorno, altro quesito! Stavolta un po' più complesso:
Il numero [math]p^a + p^b è un cubo perfetto. Il numero [math]p è primo e [math]a<b\leq2018. Quanto vale al massimo [math]a+b+p?

[bananamaths]

Testo nascosto:

il risultato è 14?

[Sypo12]

Purtroppo non ho il risultato, chiedevo un aiuto anche per questo, visto che non so quali pesci prendere per questo problema, speravo in un procedimento. Come sei arrivato al tuo risultato?

[1729]

Raccogliendo abbiamo $ p^a(p^{b-a} +1)=c^3 $
Poiché $ p $ non divide il secondo fattore abbiamo che $ a $ deve essere un multiplo di $ 3 $ e il secondo fattore deve essere un cubo perfetto.
Quindi abbiamo
$ p^{b-a} =(d-1)(d^2+d+1) $
Distinguo due casi:
Se $ d-1=1 $ allora si ha una soluzione con $ p=7 $ e $ b-a=1 $. Imponendo che la somma $ a+b $ sia massima e ricordandoci che $ a $ dev3 essere multiplo di $ 3 $ abbiamo che la soluzione massima é$ 2017+2016+7=4040 $
Caso due:
$ p $ divide $ d-1 $
Ma allora $ d=pk+1 $ sostituendo e Imponendo che il secondo fattore sia divisibile per $ p $ si ottiene che $ p $ divide $ 3 $ e quindi $ p $ deve essere $ 3 $. Tuttavia é facile convincersi che il secondo fattore non può essere multiplo di $ 9 $.
Dunque deve essere proprio$ 3 $ ma ciò é possibile solo se $ d $ é$ 1 $ che non é accettabile. Dunque la soluzione trovata prima é la soluzione massima

[bananamaths]

anche io ho fatto come 1729 solo che per svista ho messo ad a=3, invece di mettere 2016