Un insieme di interi $A$ si definisce ammissibile se per ogni $x, y\in A$ (non necessariamente distinti) vale che:
$x^2+kxy+y^2\in A\forall k\in\mathbb{Z}$
Determinare tutti i valori $m, n$ per cui l'unico insieme ammissibile che li può contenere entrambi è $\mathbb{Z} $.
Problema 7
Re: Problema 7
Secondo le regole della maratona dovrei pubblicare la soluzione, però preferisco lasciare due hint:
Testo nascosto:
Testo nascosto:
Re: Problema 7
Vabbè dai, lo faccio io per sbloccare questa maratona.
Chiaramente mcd deve essere 1, altrimenti ogni elemento di A sarebbe divisibile dall'mcd e dunque A non è uguale a tutto Z.
Caso interessante, mcd = 1
Se $mcd(x,y)=1$ allora anche $mcd(x^2,y^2)=1$, ma allora per Bezout si possono trovare $z$ e $w$ tali che $zx^2+wy^2=1$.
Ora se $x$ appartiene a A, ponendo $y=x$ e $k=z-2$, anche $zx^2$ appartiene a A. Similmente anche $wy^2$ appartiene a A. Ora ponendo $k=2$, $x=zx^2$ e $y=wy^2$ si ottiene che $(zx^2+wy^2)^2=1^2=1$ appartiene a A. Ma allora ogni $n$ appartiene ad A, usando $x=y=1$ e $k=n-2$
Chiaramente mcd deve essere 1, altrimenti ogni elemento di A sarebbe divisibile dall'mcd e dunque A non è uguale a tutto Z.
Caso interessante, mcd = 1
Se $mcd(x,y)=1$ allora anche $mcd(x^2,y^2)=1$, ma allora per Bezout si possono trovare $z$ e $w$ tali che $zx^2+wy^2=1$.
Ora se $x$ appartiene a A, ponendo $y=x$ e $k=z-2$, anche $zx^2$ appartiene a A. Similmente anche $wy^2$ appartiene a A. Ora ponendo $k=2$, $x=zx^2$ e $y=wy^2$ si ottiene che $(zx^2+wy^2)^2=1^2=1$ appartiene a A. Ma allora ogni $n$ appartiene ad A, usando $x=y=1$ e $k=n-2$
Re: Problema 7
Giusto, ora secondo le regole starebbe a te proporre il nuovo problema.