Testo
Testo nascosto:
Ogni numero naturale, zero incluso, è colorato di bianco o di rosso, in modo che:
• vi siano almeno un numero bianco ed almeno un numero rosso;
• la somma tra un numero bianco ed un numero rosso sia bianca;
• il prodotto tra un numero bianco ed un numero rosso sia rosso.
Dimostrare che il prodotto di due numeri rossi è sempre un numero rosso e che la somma di due numeri rossi
è sempre un numero rosso.
• vi siano almeno un numero bianco ed almeno un numero rosso;
• la somma tra un numero bianco ed un numero rosso sia bianca;
• il prodotto tra un numero bianco ed un numero rosso sia rosso.
Dimostrare che il prodotto di due numeri rossi è sempre un numero rosso e che la somma di due numeri rossi
è sempre un numero rosso.
Testo nascosto:
Dato che c'è almeno un numero rosso 0 è rosso poiché r (rosso) + 0 = r (rosso), quindi 0 non può essere bianco, altrimenti non sarebbe soddisfatta la seconda condizione. 1 è bianco poiché b (bianco) per 1 = b (bianco) e quindi 1 non può essere rosso. Adesso distinguo i casi 2 bianco e 2 rosso.
Se 2 è bianco allora 1 (bianco) + 1 (bianco) = 2 (bianco) quindi bianco + bianco = bianco e dato che 1 e 2 sono bianchi solo 0 sarebbe rosso e dato che 0+0 = 0 per 0 = 0 la tesi è dimostrata.
Se 2 è rosso bianco + bianco = rosso, ma dato che rosso + bianco = bianco e 1 è bianco i numeri bianchi si alternano ai rossi. In particolare i pari sono rossi e i dispari bianchi. Quindi, dato che la somma o il prodotto tra numeri pari dà numeri pari, la tesi è dimostrata.
Se 2 è bianco allora 1 (bianco) + 1 (bianco) = 2 (bianco) quindi bianco + bianco = bianco e dato che 1 e 2 sono bianchi solo 0 sarebbe rosso e dato che 0+0 = 0 per 0 = 0 la tesi è dimostrata.
Se 2 è rosso bianco + bianco = rosso, ma dato che rosso + bianco = bianco e 1 è bianco i numeri bianchi si alternano ai rossi. In particolare i pari sono rossi e i dispari bianchi. Quindi, dato che la somma o il prodotto tra numeri pari dà numeri pari, la tesi è dimostrata.
Testo nascosto:
Soluzione: Lo zero `e un numero rosso: infatti, se 0 fosse bianco, dato che esiste un numero rosso x, avremmo
che 0 + x = x `e bianco per la seconda propriet`a, contraddizione.
Uno `e un numero bianco: infatti, se uno fosse rosso, dato che esiste un numero bianco y, avremmo che y · · · 1 = y
`e rosso per la terza propriet`a, contraddizione.
Se non ci sono numeri rossi diversi da zero, la tesi `e banale. Altrimenti, sia k il pi`u piccolo numero rosso
maggiore di zero. Allora ogni numero non multiplo di k `e bianco: infatti, se n non `e multiplo di k, n si pu`o
scrivere nella forma n = qk + r con 0 < r < k. Usiamo l’induzione su q. Se q = 0, n `e bianco per ipotesi.
Supponendo vera l’ipotesi per q − 1, abbiamo n = [(q − 1)k + r] + k, che `e bianco per la seconda propriet`a.
Per la terza propriet`a, ogni multiplo di k della forma j · k, con j non divisibile per k, `e rosso. Supponiamo
ora che n sia un multiplo di k della forma j · k con j = lk divisibile per k, ossia che n sia della forma l · k2.
Dall’uguaglianza k + l · k2 = (1 + lk) · k abbiamo, per la seconda propriet`a, che anche in questo caso n deve
essere rosso. Quindi i numeri rossi sono tutti e soli i multipli di k. In questo caso sia le ipotesi del problema
sia la tesi sono banalmente verificate.
che 0 + x = x `e bianco per la seconda propriet`a, contraddizione.
Uno `e un numero bianco: infatti, se uno fosse rosso, dato che esiste un numero bianco y, avremmo che y · · · 1 = y
`e rosso per la terza propriet`a, contraddizione.
Se non ci sono numeri rossi diversi da zero, la tesi `e banale. Altrimenti, sia k il pi`u piccolo numero rosso
maggiore di zero. Allora ogni numero non multiplo di k `e bianco: infatti, se n non `e multiplo di k, n si pu`o
scrivere nella forma n = qk + r con 0 < r < k. Usiamo l’induzione su q. Se q = 0, n `e bianco per ipotesi.
Supponendo vera l’ipotesi per q − 1, abbiamo n = [(q − 1)k + r] + k, che `e bianco per la seconda propriet`a.
Per la terza propriet`a, ogni multiplo di k della forma j · k, con j non divisibile per k, `e rosso. Supponiamo
ora che n sia un multiplo di k della forma j · k con j = lk divisibile per k, ossia che n sia della forma l · k2.
Dall’uguaglianza k + l · k2 = (1 + lk) · k abbiamo, per la seconda propriet`a, che anche in questo caso n deve
essere rosso. Quindi i numeri rossi sono tutti e soli i multipli di k. In questo caso sia le ipotesi del problema
sia la tesi sono banalmente verificate.