Exinscritta e tangenti
Exinscritta e tangenti
In un triangolo [math] sia [math] l'ex-cerchio opposto al vertice [math] e siano [math] i punti di tangenza di [math] con le rette [math] rispettivamente. La circonferenza [math] interseca la retta [math] nei punti [math] e [math]. Sia [math] il punto medio di [math]. Dimostrare che la circonferenza [math] tange [math].
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Re: Exinscritta e tangenti
Siano $I_a$ l'ex-centro opposto al vertice $A$, $X$ la seconda intersezione di $AD$ con $\omega$, $N$ il punto medio di $DX$ e $T\equiv BC\cap EF$.
Visto che $I_aN \perp DX$, i punti $A$, $E$, $F$, $I_a$ e $N$ si trovano sulla circonferenza di diametro $AI_a$. Quindi
$$PD \cdot QD=2DM\cdot DN=DM \cdot DX$$
quindi il quadrilatero $MPXQ$ è ciclico.
Noto che $T$ si trova sulla polare di $A$ rispetto a $\omega$ e quindi $AD$ è la polare di $T$ rispetto a $\omega$ e quindi $TX$ tange $\omega$. Inoltre noto che $T$ è il centro radicale tra $(AEF)$, $(MPXQ)$ e $\omega$ e quindi $TX$ tange anche $(MPXQ)$ e questo dimostra la tesi.
Visto che $I_aN \perp DX$, i punti $A$, $E$, $F$, $I_a$ e $N$ si trovano sulla circonferenza di diametro $AI_a$. Quindi
$$PD \cdot QD=2DM\cdot DN=DM \cdot DX$$
quindi il quadrilatero $MPXQ$ è ciclico.
Noto che $T$ si trova sulla polare di $A$ rispetto a $\omega$ e quindi $AD$ è la polare di $T$ rispetto a $\omega$ e quindi $TX$ tange $\omega$. Inoltre noto che $T$ è il centro radicale tra $(AEF)$, $(MPXQ)$ e $\omega$ e quindi $TX$ tange anche $(MPXQ)$ e questo dimostra la tesi.