Sia [math]t=a^3+2bc, [math]u=b^3+2ac, [math]v=c^3+2ab e [math]S=t+u+v+3, quindi [math]LHS=\sum_{cyc} \sqrt{\frac{t+3}{u+v}}.
Per Hölder, [math] \left(\sum_{cyc} \sqrt{\frac{t+3}{u+v}} \right)^2 \left(\sum_{cyc} (t+3)^2(u+v) \right) \geq \left( \sum_{cyc} (t+3) \right)^3, quindi [math]LHS^2 \geq \frac{\left( \sum_{cyc} (t+3) \right)^3}{\left(\sum_{cyc} (t+3)^2(u+v) \right)}.
Inoltre, per [math]AM-GM si ha [math](t+3)(u+v) \leq \frac{S^2}{4}, quindi [math]\frac{\left( \sum_{cyc} (t+3) \right)^3}{\left(\sum_{cyc} (t+3)^2(u+v) \right)} \geq \frac{\left( \sum_{cyc} (t+3) \right)^3}{\left(\sum_{cyc} (t+3) \frac{S^2}{4} \right)} =\frac{(S+6)^3}{\frac{S^2}{4} (S+6)} = \frac{4(S+6)^2}{S^2} .
Da ciò segue [math]LHS \geq \frac{2(S+6)}{S}, quindi è sufficiente dimostrare [math]\frac{2(S+6)}{S} \geq 3, cioè [math]S \leq 12.
Usando la definizione di [math]S e il vincolo, quest'ultima disuguaglianza si può riscrivere come [math]\left(\sum_{cyc} a\right)^2+\sum_{cyc}a^3 \leq 4\left(\sum_{cyc}a^2\right).
Distinguiamo quindi due casi:
1) [math]a+b+c \geq 2:
Consideriamo il polinomio [math]P(x)=-x^3+4x^2-5x+2=(2-x)(x-1)^2. Chiaramente [math]P(a),P(b),P(c) \geq 0, in quanto [math]a,b,c \leq \sqrt3 < 2, quindi [math]\sum_{cyc} P(a) \geq 0 \iff 4\left(\sum_{cyc}a^2\right)-\sum_{cyc} a^3 \geq 5\left( \sum_{cyc} a \right) -6.
E' perciò sufficiente dimostrare [math]5\left( \sum_{cyc} a \right)-6 \geq \left( \sum_{cyc} a \right)^2 \iff \left( \sum_{cyc} a -2 \right)\left(3- \sum_{cyc} a \right) \geq 0, che è vera (poiché [math]a+b+c \leq 3 per [math]QM-AM).
2) [math]a+b+c <2
Ovviamente si ha [math]a^3+b^3+c^3 \leq (a+b+c)^3, quindi [math]\left(\sum_{cyc} a\right)^2+\sum_{cyc}a^3 \leq \left(\sum_{cyc} a\right)^2 + \left(\sum_{cyc} a\right)^3 < 2^2+2^3=12.