Problema senior

[batmangiallo]

Ciao, tra i problemi del senior in pillole online non riuscivo a risolvere:

Scomporre su R il polinomio
1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+...+x^1013

Ho notato subito che -1 è soluzione e quindi fatta la divisione polinomiale, ma poi qualcuno saprebbe aiutarmi su come andare avanti?

[emmeci]

Indicando con $P(x)$ il polinomio in esame, comincio a fare la scomposizione indicata.

$P(x)=(1+x)+x^2(1+x)+x^4(1+x)+...+x^{1012}(1+x)=$
$=(1+x)(1+x^2+x^4+...+x^{1012})$

Moltiplico per$\frac{1-x^2} {1-x^2}$

$P(x)=(1+x) \frac{1-x^{1014}} {1-x^2}=(1+x) \frac{1-x^{507}} {1-x} \frac{1+x^{507}} {1+x}$

Considero la prima frazione
$\frac{1-x^{507}} {1-x}=1+x+x^2+x^3+x^4+...+x^{506}=$
$=(1+x+x^2)+x^3(1+x+x^2)+x^6(1+x+x^2)+...+x^{504}(1+x+x^2)=$
$=(1+x+x^2)(1+x^3+x^6+...+x^{504})=(1+x+x^2)A$
con
$A=(1+x^3+...+x^{36})+x^{39}(1+x^3+...+x^{36})+...+x^{468}(1+x^3+...+x^{36})=$
$=(1+x^3+...+x^{36})(1+x^{39}+x^{78}+...+x^{468})$

Per la seconda frazione non occorrono altri calcoli: basta cambiare il segno di x nel risultato della prima. Concludo moltiplicando fra loro i vari fattori ottenuti; non scrivo qui la formula finale perché decisamente lunga.

[batmangiallo]

Okay chiaro, grazie mille, ho un'ulteriore domanda; come faccio a essere certo che a questo punto il polinomio è irriducibile?

[emmeci]

Non credo che si possa esserne certi; neanch'io lo sono. Di sicuro però il metodo di scomposizione che ho usato non serve più, perché ogni parentesi contiene un numero primo di addendi e quindi non si può suddividerla in blocchi aventi tutti lo stesso numero di addendi. Potrebbero però esserci scomposizioni di altro tipo.

[emmeci]

[Ripensandoci, ho scoperto che c'è almeno un'altra scomposizione; ci arrivo però in modo in modo molto indiretto. Mi limito a cercare la scomposizione di
$Q(x)=\frac{1-x^{507}} {1-x}=1+x+x^2+x^3+x^4+...+x^{506}$
Ci sono 507 addendi e si ha $507=3*13^2$. Nella mia prima mail avevo quindi suddiviso in blocchi di 3 addendi e poi in blocchi di 13 ed avevo trovato $Q(x)=a_1a_2a_3$,con
$a_1=1+x+x^2$
$a_2=1+x^3+x^6+...+x^{36}$
$a_3=1+x^{39}+x^{78}+...+x^{468}$

Si può però suddividere prima in blocchi di 13 e poi in blocchi di 3; si ha $Q(x)=b_1b_2b_3$, con
$b_1=1+x+x^2+...+x^{12}$
$b_2=1+x^{13}+x^{26}$
$b_3=1+x^{39}+x^{78}+...+x^{468}$

Si ha $a_3=b_3$, ma per gli altri fattori deve esserci una scomposizione che renda uguali i due prodotti. Ed infatti
$b_2=x^{26}+x^{13}+1=x^2(x^{24}-1)+x(x^{12}-1)+(x^2+x+1)$

Le prime due parentesi sono divisibili per $x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$, quindi il tutto è divisibile per $a_1=x^2+x+1$. Detto $c$ il risultato di questa divisione, si ha $b_2=c*a_1$ (e quindi $a_2=c*b_1$)

[fph]

Su R i polinomi irriducibili sono solo quelli di grado 1 e 2; qualunque polinomio di grado più grande si scompone. Per sapere come son fatti i fattori però devi conoscere qualcosa sui numeri complessi. Hai visto la lezione di algebra 1?

[emmeci]

Su R hai tutte le ragioni; qui però stiamo pensando a scomposizioni in polinomi a coefficienti interi, quelli a cui ci si riferisce quando, il primo anno delle superiori, si studia la scomposizione in fattori.
Mi scuso se non ho usato il linguaggio corretto.

[fph]

Non c'è niente di cui scusarti, il tuo linguaggio mi sembra corretto. E in ogni caso siamo tutti qui per imparare e insegnare qualcosa.

Nel primo post hai scritto "scomporre su R", quindi pensavo che ti riferissi a quello; se invece vuoi scomposizioni su Q (o su Z) la risposta è diversa. Di solito nei senior viene spiegato l'"arnese" di teoria che serve per fare queste scomposizioni, cioè i polinomi ciclotomici, ma senza dimostrare tutto perché è molto tecnico. In generale senza aver visto i questo pezzo di teoria è molto difficile trovare queste scomposizioni da solo facendo i conti a mano. Il tuo $a_3$, in particolare, si scompone in altri due pezzi, ma non è per nulla facile da vedere!