La successione di Fibonacci
Moderatore: tutor
Ho reperito alcune proprieta\' della (ipernota) successione di Fibonacci
<BR>di cui mi piacerebbe conoscere una giustificazione.
<BR>Ecco il testo:
<BR>
<BR>Si consideri la successione di Fibonacci {U(n)} di termini iniziali
<BR>U(0)=0,U(1)=1 provare le seguenti relazioni:
<BR>
<BR>1) U(2n-1)=(U(n))^2+(U(n-1))^2
<BR>
<BR>2)U(n-1)=U(k)*U(n-k)+U(k-1)*U(n-k-1)
<BR>
<BR>Spero non si tratti di cose gia\' discusse.
<BR>di cui mi piacerebbe conoscere una giustificazione.
<BR>Ecco il testo:
<BR>
<BR>Si consideri la successione di Fibonacci {U(n)} di termini iniziali
<BR>U(0)=0,U(1)=1 provare le seguenti relazioni:
<BR>
<BR>1) U(2n-1)=(U(n))^2+(U(n-1))^2
<BR>
<BR>2)U(n-1)=U(k)*U(n-k)+U(k-1)*U(n-k-1)
<BR>
<BR>Spero non si tratti di cose gia\' discusse.
<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-01-29 14:58, karl wrote:
<BR>Ho reperito alcune proprieta\' della (ipernota) successione di Fibonacci
<BR>di cui mi piacerebbe conoscere una giustificazione.
<BR>Ecco il testo:
<BR>
<BR>Si consideri la successione di Fibonacci {U(n)} di termini iniziali
<BR>U(0)=0,U(1)=1 provare le seguenti relazioni:
<BR>
<BR>1) U(2n-1)=(U(n))^2+(U(n-1))^2
<BR>
<BR>2)U(n-1)=U(k)*U(n-k)+U(k-1)*U(n-k-1)
<BR>
<BR>Spero non si tratti di cose gia\' discusse.
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Mi limito qui ad annotare che la prima identità è una diretta conseguenza della seconda, pur di operare in quest\'ultima la sostituzione formale n --> 2n ed assumere di conseguenza, al suo secondo membro: k = n. Per dimostar la condizione 2), basta ragionare poi per induzione. Lascio ad altri, cmq, il piacere dei dettagli... Se nessuno avrà la premura di fornirli, beh allora mi risolverò di farlo io... forse. Ciao, per il momento!
<BR>On 2004-01-29 14:58, karl wrote:
<BR>Ho reperito alcune proprieta\' della (ipernota) successione di Fibonacci
<BR>di cui mi piacerebbe conoscere una giustificazione.
<BR>Ecco il testo:
<BR>
<BR>Si consideri la successione di Fibonacci {U(n)} di termini iniziali
<BR>U(0)=0,U(1)=1 provare le seguenti relazioni:
<BR>
<BR>1) U(2n-1)=(U(n))^2+(U(n-1))^2
<BR>
<BR>2)U(n-1)=U(k)*U(n-k)+U(k-1)*U(n-k-1)
<BR>
<BR>Spero non si tratti di cose gia\' discusse.
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Mi limito qui ad annotare che la prima identità è una diretta conseguenza della seconda, pur di operare in quest\'ultima la sostituzione formale n --> 2n ed assumere di conseguenza, al suo secondo membro: k = n. Per dimostar la condizione 2), basta ragionare poi per induzione. Lascio ad altri, cmq, il piacere dei dettagli... Se nessuno avrà la premura di fornirli, beh allora mi risolverò di farlo io... forse. Ciao, per il momento!
<center>Le cose cambiano... e i sentimenti pure...</center>
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ragioniamo x induzione
<BR>
<BR>F(x) è l\'x-esimo numero di fibonacci ( F(0)=0 F(1)=1 )
<BR>
<BR>F(x+2)=F(x)+F(x+1)
<BR>F(x+3)=F(x+1)+F(x+2)=F(x)+2F(x+1)
<BR>F(x+4)=F(x+2)+F(x+3)=2F(x)+3F(x+1)
<BR>...
<BR>F(x+y)=F(y-1)F(x)+F(y)F(x+1)
<BR>
<BR>per la prima x=n-1 y=n per la 2ª x=n-k-1 y=k
<BR>
<BR> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">
<BR>
<BR>Se vi interessa prossimamente potrei postare un saaacco di cose su Fibonacci....
<BR>
<BR>F(x) è l\'x-esimo numero di fibonacci ( F(0)=0 F(1)=1 )
<BR>
<BR>F(x+2)=F(x)+F(x+1)
<BR>F(x+3)=F(x+1)+F(x+2)=F(x)+2F(x+1)
<BR>F(x+4)=F(x+2)+F(x+3)=2F(x)+3F(x+1)
<BR>...
<BR>F(x+y)=F(y-1)F(x)+F(y)F(x+1)
<BR>
<BR>per la prima x=n-1 y=n per la 2ª x=n-k-1 y=k
<BR>
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<BR>
<BR>Se vi interessa prossimamente potrei postare un saaacco di cose su Fibonacci....
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Rieccomi.
<BR>
<BR>Dimostrare che, dato un n€N esso è un numero di Fibonacci se e solo se 5n²+4 o 5n²-4 è un quadrato perfetto.
<BR>Io purtroppo sono riuscito solo a dimostrare che se n è un numero di Fibonacci allora vale questa proprietà; in particolare 5F<sub>n</sub>²+(-1)<sup>n</sup>4=L<sub>n</sub>² dove L<sub>n</sub> è l\'n-esimo numero di Lucas ( L<sub>0</sub>=2 L<sub>1</sub>=1 L<sub>n+2</sub>=L<sub>n+1</sub>+L<sub>n</sub> n>=0 )
<BR> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">
<BR>
<BR>Dimostrare che, dato un n€N esso è un numero di Fibonacci se e solo se 5n²+4 o 5n²-4 è un quadrato perfetto.
<BR>Io purtroppo sono riuscito solo a dimostrare che se n è un numero di Fibonacci allora vale questa proprietà; in particolare 5F<sub>n</sub>²+(-1)<sup>n</sup>4=L<sub>n</sub>² dove L<sub>n</sub> è l\'n-esimo numero di Lucas ( L<sub>0</sub>=2 L<sub>1</sub>=1 L<sub>n+2</sub>=L<sub>n+1</sub>+L<sub>n</sub> n>=0 )
<BR> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">
<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-01-29 17:28, Simo_the_wolf wrote:
<BR>Se vi interessa prossimamente potrei postare un saaacco di cose su Fibonacci....
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>Portaci il più possibile che siamo contenti!
<BR>On 2004-01-29 17:28, Simo_the_wolf wrote:
<BR>Se vi interessa prossimamente potrei postare un saaacco di cose su Fibonacci....
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>Portaci il più possibile che siamo contenti!
In the break of new dawn
My hope is forlorn
Shadows they will fade
But I'm always in the shade
Without you...
My Selene - Sonata Arctica
My hope is forlorn
Shadows they will fade
But I'm always in the shade
Without you...
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