diseguaglianza

[positrone]

Prove that ab+bc+ca>4(a+b+c)-12 for any real numbers a,b,c>2.

[positrone]

up
<BR>

[karl]

ab+bc+ca=
<BR>=4[(a-2)/2+1][(b-2)/2+1]+4[(b-2)/2+1][(c-2)/2+1]+4[(c-2)/2+1][(a-2)/2+1]
<BR>ovvero per Bernoulli:
<BR>ab+bc+ca>
<BR>>4[1+(a-2)/2+(b-2)/2]+4[1+(b-2)/2+(c-2)/2]+4[1+(c-2)/2+(a-2)/2]=
<BR>=4[3+a-2+b-2+c-2]=4(a+b+c)-12
<BR>q.d.d.
<BR>
<BR>
<BR>

[Boll]

Poniamo a=x+2, b=y+2, c=z+2 e abbiamo quindi variabili maggiori di 0
<BR>ora, sostituendo troviamo
<BR>(x+2)(y+2)+(y+2)(z+2)+(x+2)(z+2)>4(x+y+z)+12
<BR>xy+2x+2y+4+yz+2y+2z+4+xz+2x+2z+4>4x+4y+4z+12
<BR>xy+yz+xz>0
<BR>che è sicuramente vera perchè x, y e z sono variabili positive
<BR>
<BR>----
<BR>
<BR>Ora forse sto dicendo una grande boiata:
<BR>con una dimostrazione analoga si può dimostrare il caso generale
<BR>ab+bc+ca>2n(a+b+c)-3n² che vale per ogni terna a,b,c>n, con n reale qualsiasi
<BR>
<BR>imponendo a=x+n, b=y+n, c=z+n
<BR>(x+n)(y+n)+(y+n)(z+n)+(x+n)(z+n)>2n(x+y+z)+3n²
<BR>
<BR>xy+nx+ny+n²+yz+ny+nz+n²+zx+nx+nz+n²> 2nx+2ny+2nz+3n²
<BR>
<BR>xy+yz+zx>0
<BR>vera perchè le tre variabili sono positive<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Boll il 29-08-2004 18:17 ]

[positrone]

Scusa Boll,forse sbaglio,ma se ho capito bene tu non consideri una qualunque terna di reali,,forse potresti provare a generalizzare a partire dal caso considerato.

[MindFlyer]

Positrone, quello che dice Boll è giusto senza alcun dubbio, e risolve e generalizza il tuo problema.

[positrone]

Scusa per Boll,inoltre
<BR> ho inviato il mio messaggio prima che tu modificassi il tuo.<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: positrone il 29-08-2004 22:22 ]