[N] Sui primi nelle progressioni aritmetiche.

MindFlyer · Messaggio da **MindFlyer** » 01 gen 1970, 01:33

Beh, dipende da come definisci \"elementare\". Anche secondo me una dimostrazione che usi il fatto che un gruppo è ciclico non è elementare.
 Figuriamoci una dimostrazione che afferma che un numero primo ha un generatore! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">

HiTLeuLeR · Messaggio da **HiTLeuLeR** » 01 gen 1970, 01:33

A quanto pare, mi sono spicciato prima del previsto! Bene...
 
 <TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 08-10-2004, 02:02, HiTLeuLeR wrote:
 [...] Le argomentazioni tue e di lollogauss non fanno una grinza. [...]
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 @Biagio: beh, un attimo... diciamo che - come avevo paventato - la stanchezza della tarda serata di ieri ha avuto la meglio sul fisico e sulla mente e non ci ho messo pertanto l\'attenzione che, al contrario, avrei dovuto usare!!! Me ne scuso...
 
 Dunque... la dimostrazione che tu e lord avevo proposto, caro Biagio, si serve dell\'assunzione che l\'intero prodi=1...m pi2n-1 + 1 ammetta fra i suoi divisori almeno un primo naturale q di valenza dispari.
 
 Orbene, a meno di non modificare leggermente le idee poste a fondamento della vostra prova, ed è banale il modo, mi dovreste spiegare per quale verso vi riesce di escludere che sia: prodi=1...m pi2n-1 + 1 = 2k, per un qualche k \\in N0. Identico discorso si ripeta in quanto alle argomentazioni addotte per fissare la lacuna evidenziata dall\'altra sensatissima obiezione di mind. Saluti!
 
 @mind: in questo contesto, diremo \"elementare\" una dimostrazione che utilizzi solo e soltanto risultati propri della Teoria Elementare dei Numeri! Buuurp...
 
 @marco & mind: il fatto che (Z/pn Z)* sia ciclico, o equivalentemente ch\'esista almeno una radice primitiva mod pn, per ogni primo naturale p > 2 ed ogni intero n > 0, è indubitabilmente un fatto elementare! Come ricorda Harvey Cohn: \"Gauss in his Disquisitiones was particularly blind to [the theory of] groups\". Ciò nonostante, la prima dimostrazione dell\'esistenza di una radice primitiva mod pn e la conseguente descrizione di un suo algoritmo di ricerca si ritrovano, guarda un po\', fra le pagine dell\'opera maxima del sommo Matematico di Brunswick. A voi trarne le dovute conclusioni...
 
 EDIT: corretti gli esponenti.
 
 
 \"Simul inflavit tibicen, a perito carmen agnoscitur.\" - Cicerone [ Questo Messaggio è stato Modificato da: HiTLeuLeR il 08-10-2004 17:35 ]

Biagio · Messaggio da **Biagio** » 01 gen 1970, 01:33

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 On 2004-10-08 16:11, HiTLeuLeR wrote:
 A quanto pare, mi sono spicciato prima del previsto! Bene...
 
 <TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 08-10-2004, 02:02, HiTLeuLeR wrote:
 [...] Le argomentazioni tue e di lollogauss non fanno una grinza. [...]
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 @Biagio: beh, un attimo... diciamo che - come avevo paventato - la stanchezza della tarda serata di ieri ha avuto la meglio sul fisico e sulla mente e non ci ho messo pertanto l\'attenzione che, al contrario, avrei dovuto usare!!! Me ne scuso...
 
 Dunque... la dimostrazione che tu e lord avevo proposto, caro Biagio, si serve dell\'assunzione che l\'intero prodi=1...m pi + 1 ammetta fra i suoi divisori almeno un primo naturale q di valenza dispari.
 
 Orbene, a meno di non modificare leggermente le idee poste a fondamento della vostra prova, ed è banale il modo, mi dovreste spiegare per quale verso vi riesce di escludere che sia: prodi=1...m pi + 1 = 2k, per un qualche k \\in N0. Identico discorso si ripeta in quanto alle argomentazioni addotte per fissare la lacuna evidenziata dall\'altra sensatissima obiezione di mind. Saluti!
 [ Questo Messaggio è stato Modificato da: HiTLeuLeR il 08-10-2004 16:16 ]
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 innanzitutto q non deve dividere prodi=1...mpi + 1 ma bensì prodi=1...mpi(2(n + 1)) + 1
 
 in ogni caso la tua osservazione è sacrosanta, ma per \"fortuna\" il residuo quadratico mod 4 di un numero dispari, come ad esempio prodi=1...mpi, è solamente 1. pertanto,
 4 non divide prodi=1...mpi(2(n + 1)) + 1.
 a meno di un 2, dunque, prodi=1...mpi(2(n + 1)) + 1 risulta divisibile solo da primi del tipo c2^n+1
 [ Questo Messaggio è stato Modificato da: Biagio il 08-10-2004 17:04 ]

HiTLeuLeR · Messaggio da **HiTLeuLeR** » 01 gen 1970, 01:33

Ok! Adesso gli altri casi, però...
 
 
 \"It is the increasingly pronounced tendency of modern analysis to substitute ideas for calculation; nevertheless, there are certain branches of mathematics where calculation conserves its rights.\" - Lejeune Dirichlet

HiTLeuLeR · Messaggio da **HiTLeuLeR** » 01 gen 1970, 01:33

Uffa!!! Ho appena avuto un\'illuminante tete-à-tete con il divino della Scuola Superiore di Algebra di Catania a cui m\'ero rivolto per avere qualche informazione più autorevole sul conto della mia modestissima \"ricerca\". Beh, pare proprio che per la Field mi tocchi aspettare ancora un po\'... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif">
 
 Orbene, il Prof mi ha informato dell\'esistenza d\'una dimostrazione elementare del teorema di Dirichlet proposta, ben oltre ormai mezzo secolo fa, dallo stesso Atle Selberg che, assieme a Paul Erdos, ebbe pure a pubblicare una dimostrazione elementare del teorema dei numeri primi. In ogni caso, come lo stesso Prof ha tenuto a precisare, la prova di Selberg è tutt\'altro che elementare nel senso letterale del termine. Si tratta infatti d\'una dimostrazione che utilizza pesantamente gli strumenti della Teoria Analitica dei Numeri, evitando tuttavia il ricorso al sofisticato arsenale dell\'Analisi Complessa.
 
 Ora, in questo contesto, come già avevo sottolineato replicando ad un precedente messaggio di Mind, elementare s\'intende invece una dimostrazione che utilizzi non più che i teoremi e le nozioni della Teoria Elementare dei Numeri. Qui, in altre parole: elementare = euleriano.
 
 Le brutte notizie, tuttavia, devono ancora arrivare... Nonostante a questo proposito il nume non mi abbia saputo fornire dettagli più precisi, pare infatti che tale Hillel Gauchman abbia recentemente esibito una dimostrazione euleriana del teorema di Dirichlet nel caso speciale delle progressioni aritmetiche di primo termine eguale ad 1, ovvero esattamente nel caso contemplato dalla mia dimostrazione! Uff, non poteva impicciarsi dei ca**acci suoi, \'sto tipo? Che odio! Umpf, cliccate <a href=\"http://www.maa.org/pubs/mag_dec01_toc.html\">qui</a> per saperne qualcosina in più...
 
 Adesso si tratterebbe di poter reperire il paper di mr Gauchman per un \"confronto\". Se qualcuno avesse modo d\'indicarmi dove o come trovarlo in rete, beh... inutile aggiungere che gliene sarei infinitamente grato! <IMG SRC="images/forum/icons/icon27.gif">
 
 
 \"Le plus court chemin entre deux vérités dans le domaine réel passe par le domaine complexe.\" - J. Hadamard