[N/A] Number theoretic functional equations.

HiTLeuLeR · Messaggio da **HiTLeuLeR** » 01 gen 1970, 01:33

Problema 1: dimostrare che, se f(-): N0 --> R è una funzione totalmente moltiplicativa(1) e monotona (strettamente) crescente o decrescente, allora esiste un qualche s \\in R tale che, per ogni n \\in N0: f(n) = ns.
 
 (1): una funzione aritmetica g(-): N0 --> C si dice totalmente moltiplicativa sse, per ogni m, n \\in N0: g(m · n) = g(m) · g(n).
 
 
 \"Nessuno può sorprendere i pensieri di Dio.\" - Eschilo

Simo_the_wolf · Messaggio da **Simo_the_wolf** » 01 gen 1970, 01:33

Osserviamo innanzitutto che f(x)=/=0 per ogni x€N0 perchè altrimenti avremmo f(kx)=0 per ogni k naturale contro la ipotesi di monotonia.
 
 Consideriamo i numeri x e y come ea e eb (lo possiamo fare xkè siamo in N0; la nostra equazione diviene:
 
 f(eaeb)=f(ea+b)=f(ea)f(ea)
 
 ora consideriamo la funzione g(x) definita come f(ex) e otteniamo:
 
 g(a+b)=g(a)g(b)
 
 ora consideriamo il logaritmo naturale di entrambi i membri (lo possiamo fare visto che mai g(x)=0 infatti g(x)=f(ex)=/=0.
 
 ln(g(a+b))=ln(g(a))+ln(g(b))
 
 ora consideriamo la nuova funzione h(x)=ln(g(x)) e abbiamo
 
 h(a+b)=h(a)+h(b)
 
 ma h(x)=ln(f(ex)) è una composizione di funzioni monotone e quindi anch\'essa monotona. Ma essendo monotona avremo che h(x)=ax per qualche a reale (equazioni di Cauchy).
 Quindi ln(f(ey))=ay cioè f(ey)=eay. ponendo ey=x avremo f(x)=xa cioè la tesi.
 Da notare che questo procendimento dimostra anche per x€R0 [ Questo Messaggio è stato Modificato da: Simo_the_wolf il 20-10-2004 22:00 ]

MASSO · Messaggio da **MASSO** » 01 gen 1970, 01:33

Qualcuno che dispone di un pò di tempo da buttare potrebbe espormi la dimostrazione del fatto che se f(x) è monotona allora f(x)=ax per qualche a reale, grazie

HiTLeuLeR · Messaggio da **HiTLeuLeR** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-10-20 22:10, MASSO wrote:
 Qualcuno che dispone di un pò di tempo da buttare potrebbe espormi la dimostrazione del fatto che se f(x) è monotona allora f(x)=ax per qualche a reale, grazie.
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 Tempo da buttare non ce n\'è di certo, ma ciò nondimeno... ci si può industriare!!!
 
 Innanzitutto, permettimi di muoverti un\'obiezione! Quel che tu affermi è ovviamente privo di riscontro, Masso, ché difatti non tutte le funzioni monotòne di R in R sono della forma f(x) := ax, per qualche a \\in R. Forse ti è sfuggita l\'articolazione dell\'argomento proposto da Simo, o forse più semplicemente ti sei espresso in modo incompiuto e un tantinello infelice. Ora, là dove non fosse sufficientemente chiaro, Simo sostiene, e giustamente, che, se f(-) è una funzione di K in K tale che:
 
 <center>i) f(-) sia monotòna in K;............ii) per ogni a, b \\in K: f(a+b) = f(a) + f(b),</center>
 
 allora esiste un qualche a \\in R per cui: f(x) = ax, qualunque sia x \\in R, ove K rappresenta un arbitrario insieme numerico della famiglia {N, Z, Q, R}. E adesso, quantunque si tratti di un risultato arcinoto, tenterò di chiarirne il perché...
 
 1) f(0) = 0. Infatti, qualunque sia K \\in {N, Z, Q, R}: f(0) = f(0 + 0) = [In base alla ii)] = f(0) + f(0), donde: f(0) = 0, poiché K è comunque un sottoinsieme di R, e in R vige la legge del trasporto.
 
 2) se in K ogni elemento ammette un inverso additivo, ovvero se K \\in {Z, Q, R}, allora f(-) è una funzione dispari del suo argomento. Difatti, nell\'assunto di cui sopra, per ogni x \\in K: 0 = [Per la (1)] = f(0) = f[x + (-x)] = [Dalla i)] = f(x) + f(-x), e dunque: f(-x) = -f(x), ancora in base alla legge del trasporto. Di qui seguita che, qualunque sia K \\in {N, Z, Q, R}, ci si può comunque restringere ad operare, nel prosieguo, sui soli valori dell\'argomento >= 0.
 
 3) per ogni n \\in N: f(n) = n · f(1). Se n = 0, dalla 1): f(0) = 0 = 0 · f(1). Sia dunque n \\in N0. La tesi è evidente per n = 1. Se poi se ne ammette la consistenza per un generico n intero > 0, allora: f(n+1) = [In base alla ii)] = f(n) + f(1) = [Per ipotesi] = n · f(1) + f(1) = (n+1) · f(1). Di qui, per induzione, l\'asserto.
 
 @ Le condizioni (1) e (3) appena stabilite indicano che, se K = N, allora - indipendentemente dalla condizione i) di monotonia - tutte le soluzioni della funzionale qui presa in esame sono necessariamente del tipo f(x) := ax, con a := f(1) ed f(1) \\in R. Inoltre, per la proprietà di simmetria sancita dalla (2), questo stesso risultato è poi estendibile al caso in cui sia K = Z. Supporremo pertanto per il seguito che sia K = Q oppure K = R.
 
 4) Per ogni n \\in N0: f(1/n) = 1/n · f(1). Difatti, qualunque sia n \\in N0: f(1) = f(n/n) = [Poiché la somma in K è associativa] = f(sumi=1...n 1/n) = [Iterando n volte l\'applicazione della ii)] = sumi=1...n f(1/n) = n · f(1/n). E poiché Q ed R sono dei campi, là dove sia n \\in N0: f(1) = n · f(1/n) ==> f(1/n) = 1/n, q.e.d.
 
 5) Per ogni x \\in Q: f(x) = x · f(1). In conseguenza delle relazioni (1) e (2), non è lesivo di generalità supporre x > 0. E allora, poiché x è comunque un numero razionale, esistono univocamente determinati m, n \\in N0, con gcd(m, n) = 1, tali che: x = m/n, cosicché: f(x) = f(m/n) = [Dissociando in somma] = f(sumi=1...m 1/n) = [Iterando m volte l\'applicazione della ii)] = sumi=1...m f(1/n) = m · f(1/n) = [Per la (4)] = m/n · f(1) = x · f(1), q.e.d.
 
 @ Le condizioni fin qui stabilite suggeriscono che, se K = Q, allora - a prescindere dalla condizione i) - tutte le soluzioni della funzionale allo studio non possono che essere del tipo f(x) := ax, con a := f(1) ed f(1) \\in R. Nel seguito, ammettermo dunque che sia K = R.
 
 6) Per ogni x \\in R: f(x) = x · f(1). Per ogni x \\in R, esistono due successioni di numeri razionali {xn(i): n \\in N} ed {xn(s): n \\in N}, l\'una monotona non decrescente, l\'altra monotòna non crescente(1), entrambe convergenti ad x e tali che, per ogni n \\in N: xn(i) <= x <= xn(s). Se pertanto è valida la i), allora - comunque scelto un n \\in N: f(xn(i)) <= f(x) <= f(xn(s)), oppure: f(xn(i)) >= f(x) >= f(xn(s)), a secondo che f(-) sia, rispettivamente, monotòna non decrescente o monotòna non crescente. E tuttavia, in base alla (5), l\'una e l\'altra condizione si traducono nel dire che, per ogni n \\in N: xn(i) · f(1) <= f(x) <= xn(s) · f(1), oppure: xn(i) · f(1) >= f(x) >= xn(s) · f(1), in funzione delle occorrenze già descritte. Di qui, passando al limite ai tre membri per n tendente a +inf, si conclude finalmente che: f(x) = x · f(1), pur di applicare lo squeeze principle poscia d\'avere osservato che, per costruzione: limn --> +inf xn(i) = limn --> +inf xn(s) = x.
 
 @ Riassumendo quanto detto fino a questo punto, possiamo dunque concludere che, se K è un qualunque insieme numerico della famiglia {N, Z, Q, R} ed f(-) è soluzione dell\'equazione funzionale definita dalle condizioni i) e ii), allora necessariamente: f(x) = ax, per ogni x \\in K, essendo a := f(1) ed f(1) \\in R. E in effetti, si verifica per sostituzione diretta che ogni funzione di questo tipo è soluzione, e così null\'altro rimane da aggiungere.
 
 (1): basti porre, per ogni n \\in N: xn(i) := Floor[10n · x]/10n ed xn(s) := Ceil[10n · x]/10n, ove Floor(t) := max{k \\in Z: k <= t} e Ceil(t) := min{k \\in N: k >= t}, qualunque sia t \\in R.
 
 
 \"L\'uno cerca un ostetrico per i propri pensieri, l\'altro qualcuno da poter aiutare: è così che nasce così un magnifico dialogo.\" - F. W. Nietzsche [ Questo Messaggio è stato Modificato da: HiTLeuLeR il 23-10-2004 17:42 ]

HiTLeuLeR · Messaggio da **HiTLeuLeR** » 01 gen 1970, 01:33

Ok, Simo, ottimo lavoro! Rilancio prontamente con qualcosa di più \"tecnico\"...
 
 Problema 2: siano f(-), F(-): N0 --> C due funzioni aritmetiche mai nulle. Dimostrare in tal caso che, per ogni n \\in N0: F(n) = prodk | n f(k) sse f(n) = prodk | n F(n/k)mu(k), ove mu(-) denota qui l\'omonima funzione di Moebius e le produttorie s\'intendono estese a tutti e soli i divisori interi positivi di n.
 
 
 \"Le persone oneste e intelligenti difficilmente fanno una rivoluzione, perché sono sempre in minoranza.\" - Aristotele [ Questo Messaggio è stato Modificato da: HiTLeuLeR il 23-10-2004 18:10 ]

mario86x · Messaggio da **mario86x** » 01 gen 1970, 01:33

Qualcuno potrebbe spiegarmi cos\'è la funzione di moebius? Sorry per l\'ignoranza

HiTLeuLeR · Messaggio da **HiTLeuLeR** » 01 gen 1970, 01:33

Buongiorno, mondo!!! Ciao, mario. Dunque...
 
 E\' detta mu di Moebius la funzione aritmetica mu(-): N0 --> C definita ponendo mu(n) := 1, per n = 1; e se n è un intero > 1: mu(n) := (-1)k, là dove sia n = prod pi, con k \\in N0 e p1, p2, ..., pk numeri primi distinti; mu(n) := 0, in tutti gli altri casi. Lasciate che vi faccia osservare esplicitamente come, essendo n > 1, mu(n) sia diverso da zero sse n non risulta divisibile per il quadrato di un qualche numero primo naturale.
 
 
 \"Abbiamo due orecchie e una sola bocca proprio perché dobbiamo ascoltare di più e parlare di meno.\" - Zenone [ Questo Messaggio è stato Modificato da: HiTLeuLeR il 24-10-2004 10:51 ]