Dato un trapezio circoscritto ad un cerchio, provare che le diagonali del trapezio e le corde del cerchio con estremi sui punti di tangenza con i lati opposti del trapezio sono concorrenti.
<BR>
<BR>PS
<BR>E\' preferita la soluzione piu\' elementare possibile.
<BR>
<BR>
[G] concorrenza multipla
Moderatore: tutor
-
MindFlyer
Lo stesso risultato vale per qualunque quadrilatero, non solo per i trapezi.
<BR>Per vederlo, basta mandare il quadrilatero in un quadrato con una trasformazione proiettiva, cosa che è sempre possibile fare. Questa trasformazione manda il cerchio in un ellisse, ed è evidente che le 4 rette trasformate si incontrano nel centro del quadrato.
<BR>
<BR>So che non è una dimostrazione elementare, ma credo che sia il vero motivo per cui le cose funzionano, ed inoltre è intuitiva (l\'ho trovata io, che non so nulla di geometria proiettiva).
<BR>
<BR>EDIT:
<BR>Ah, ovviamente il risultato dovrebbe valere anche se prendiamo un ellisse al posto del cerchio.<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: MindFlyer il 08-11-2004 23:53 ]
<BR>Per vederlo, basta mandare il quadrilatero in un quadrato con una trasformazione proiettiva, cosa che è sempre possibile fare. Questa trasformazione manda il cerchio in un ellisse, ed è evidente che le 4 rette trasformate si incontrano nel centro del quadrato.
<BR>
<BR>So che non è una dimostrazione elementare, ma credo che sia il vero motivo per cui le cose funzionano, ed inoltre è intuitiva (l\'ho trovata io, che non so nulla di geometria proiettiva).
<BR>
<BR>EDIT:
<BR>Ah, ovviamente il risultato dovrebbe valere anche se prendiamo un ellisse al posto del cerchio.<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: MindFlyer il 08-11-2004 23:53 ]
La tesi e\' una caso particolare di una caso particolare del teorema di Brianchon sugli esagoni \"circoscritti\" ad una conica.
<BR>
<BR>Io l\'ho usato in problema come passo intermedio. Mi stonava un po\' l\'uso di un teorema tanto potente per un risultato, che a prima vista mi sembrava, abbastanza \"leggero\".
<BR>
<BR>Mi sono chiesto se fosse possibile arrivarci per vie piu\' classiche. Di fatto, ho visto che la cosa si puo\' provare in modo molto elementare: Talete e la piu\' immediata proprieta\' delle tangenti da un punto ad un cerchio.
<BR>
<BR><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: sprmnt21 il 09-11-2004 09:49 ]
<BR>
<BR>Io l\'ho usato in problema come passo intermedio. Mi stonava un po\' l\'uso di un teorema tanto potente per un risultato, che a prima vista mi sembrava, abbastanza \"leggero\".
<BR>
<BR>Mi sono chiesto se fosse possibile arrivarci per vie piu\' classiche. Di fatto, ho visto che la cosa si puo\' provare in modo molto elementare: Talete e la piu\' immediata proprieta\' delle tangenti da un punto ad un cerchio.
<BR>
<BR><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: sprmnt21 il 09-11-2004 09:49 ]
<!-- BBCode Start --><IMG SRC="http://xoomer.virgilio.it/carlolorito/pol.bmp"><!-- BBCode End -->
<BR>La soluzione non e\' (...purtroppo) mia,ma la figura l\'ho fatta io!
<BR>Sia S l\'intersezione di AC con QN ed R quella con PM
<BR>(supposte, al momento,distinte).
<BR>Dai triangoli AQS e CNS risulta:
<BR>QS.AS.sin(ASQ)=QS.AQ.sin(AQS)
<BR>CS.NS.sin(CSN)=CN.NS.sin(CNS)
<BR>da cui (tenuto conto che sin(ASQ)=sin(CSN) e che sin(AQS)=sin(CNS)
<BR>perche\' AQS e CNS sono supplementari):
<BR>(QS.AS)/(CS.NS)=(QS.AQ)/(CN.NS) ovvero:
<BR><!-- BBCode Start --><B>AS/CS=AQ/CN (=AM/CP)</B><!-- BBCode End -->
<BR>Dai triangoli AMR e CPR risulta:
<BR>AR.MR.sin(ARM)=AM.MR.sin(AMR)
<BR>CR.PR.sin(CRP)=CP.PR.sin(CPR)
<BR>da cui (tenuto conto che sin(ARM)=sin(CRP) e che sin(AMR)=sin(CPR)
<BR>perche\' AMR e CPR sono supplementari):
<BR>(AR.MR)/(CR.PR)=(AM.MR)/(CP.PR) ovvero:
<BR><!-- BBCode Start --><B>AR/CR=AM/CP </B><!-- BBCode End -->
<BR>Pertanto R ed S coincidono ovvero AC,PM e QN concorrono
<BR>nel medesimo punto (S) ed analogamente BD,PM e QN.
<BR>
<BR>
<BR><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: karl il 11-11-2004 16:54 ]
<BR>La soluzione non e\' (...purtroppo) mia,ma la figura l\'ho fatta io!
<BR>Sia S l\'intersezione di AC con QN ed R quella con PM
<BR>(supposte, al momento,distinte).
<BR>Dai triangoli AQS e CNS risulta:
<BR>QS.AS.sin(ASQ)=QS.AQ.sin(AQS)
<BR>CS.NS.sin(CSN)=CN.NS.sin(CNS)
<BR>da cui (tenuto conto che sin(ASQ)=sin(CSN) e che sin(AQS)=sin(CNS)
<BR>perche\' AQS e CNS sono supplementari):
<BR>(QS.AS)/(CS.NS)=(QS.AQ)/(CN.NS) ovvero:
<BR><!-- BBCode Start --><B>AS/CS=AQ/CN (=AM/CP)</B><!-- BBCode End -->
<BR>Dai triangoli AMR e CPR risulta:
<BR>AR.MR.sin(ARM)=AM.MR.sin(AMR)
<BR>CR.PR.sin(CRP)=CP.PR.sin(CPR)
<BR>da cui (tenuto conto che sin(ARM)=sin(CRP) e che sin(AMR)=sin(CPR)
<BR>perche\' AMR e CPR sono supplementari):
<BR>(AR.MR)/(CR.PR)=(AM.MR)/(CP.PR) ovvero:
<BR><!-- BBCode Start --><B>AR/CR=AM/CP </B><!-- BBCode End -->
<BR>Pertanto R ed S coincidono ovvero AC,PM e QN concorrono
<BR>nel medesimo punto (S) ed analogamente BD,PM e QN.
<BR>
<BR>
<BR><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: karl il 11-11-2004 16:54 ]