Scusandomi per il titolo poco originale...
<BR>Dato un numero primo p, dimostrare che tra p e 2p c\'è almeno un altro numero primo.
[n]numero primo
Moderatore: tutor
Si tratta di un caso particolare del celebre postulato di Bertrand, oggi teorema di Chebyshev, dal nome del Matematico russo che per primo ne diede una compiuta dimostrazione combinando insieme le proprietà delle funzioni theta e psi che ancora oggi ne portano il nome con le peculiari virtù Matematiche della lambda maior di Von Mangold.
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<BR>In effetti, gli stessi ingredienti su cui si basa un noto <!-- BBCode Start --><I>proof</I><!-- BBCode End --> del teorema dei numeri primi (per intenderci, il teorema che stabilisce la densità asintotica dei primi interi positivi in N, ritrovato per la prima volta nella seconda metà del 1800, e indipendentemente l\'uno dall\'altro, da Hadamard e De La Vallée Poussin e quindi semplificato, evitando il ricorso all\'Analisi Complessa, dagli <!-- BBCode Start --><I>sforzi congiunti</I><!-- BBCode End --> - affermazione sulla quale, in vero, si stende un po\' un alone di mistero - di Atle Selberg e Paul Erdos, lo zio Paul del celebre <!-- BBCode Start --><I>best seller</I><!-- BBCode End --> \"L\'uomo che amava solo i numeri\", di Hoffaman).
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<BR>Lo stesso Selberg ebbe a semplificare (si fa per dire) il <!-- BBCode Start --><I>proof</I><!-- BBCode End --> originale di Chebyshev del postulato di Bertrand, ma ciò nonostante la dimostrazione di questo mirabile risultato (di cui oggi sono note, fra parentesi, formulazioni ben più forti) resta comunque improponibile, ché difatti - a mio giudizio - fornirne una versione appena accennata non gioverebbe praticamente a nessuno e d\'altra parte scendere più a fondo nei dettagli argomentativi sfiancherebbe anche il più volenteroso, per non parlare del tempo materiale che avrebbe a richiedere... Il mio consiglio è pertanto di prendere in mano un qualsiasi libro di Teoria dei Numeri di un certo livello (i.e., il Tom Apostol) e sbatterci la testa finché non si frantuma!!!
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<BR>P.S.: il teorema generale di Chebyshev stabilisce che, per ogni n intero > 0, esiste un primo q di N tale che: n <= q <= 2n. Orbene, se tu puoi garantire circa l\'esistenza di una dimostrazione elementare di questo risultato nel caso in cui n sia un numero primo, allora si potrebbe pure dargli un\'occhiata, altrimenti...
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<BR>\"La gloria o il merito di certi uomini è scrivere bene; di altri, non scrivere affatto.\" - Jean de La Bruyère<font color=white><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: HiTLeuLeR il 28-11-2004 21:17 ]
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<BR>In effetti, gli stessi ingredienti su cui si basa un noto <!-- BBCode Start --><I>proof</I><!-- BBCode End --> del teorema dei numeri primi (per intenderci, il teorema che stabilisce la densità asintotica dei primi interi positivi in N, ritrovato per la prima volta nella seconda metà del 1800, e indipendentemente l\'uno dall\'altro, da Hadamard e De La Vallée Poussin e quindi semplificato, evitando il ricorso all\'Analisi Complessa, dagli <!-- BBCode Start --><I>sforzi congiunti</I><!-- BBCode End --> - affermazione sulla quale, in vero, si stende un po\' un alone di mistero - di Atle Selberg e Paul Erdos, lo zio Paul del celebre <!-- BBCode Start --><I>best seller</I><!-- BBCode End --> \"L\'uomo che amava solo i numeri\", di Hoffaman).
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<BR>Lo stesso Selberg ebbe a semplificare (si fa per dire) il <!-- BBCode Start --><I>proof</I><!-- BBCode End --> originale di Chebyshev del postulato di Bertrand, ma ciò nonostante la dimostrazione di questo mirabile risultato (di cui oggi sono note, fra parentesi, formulazioni ben più forti) resta comunque improponibile, ché difatti - a mio giudizio - fornirne una versione appena accennata non gioverebbe praticamente a nessuno e d\'altra parte scendere più a fondo nei dettagli argomentativi sfiancherebbe anche il più volenteroso, per non parlare del tempo materiale che avrebbe a richiedere... Il mio consiglio è pertanto di prendere in mano un qualsiasi libro di Teoria dei Numeri di un certo livello (i.e., il Tom Apostol) e sbatterci la testa finché non si frantuma!!!
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<BR>P.S.: il teorema generale di Chebyshev stabilisce che, per ogni n intero > 0, esiste un primo q di N tale che: n <= q <= 2n. Orbene, se tu puoi garantire circa l\'esistenza di una dimostrazione elementare di questo risultato nel caso in cui n sia un numero primo, allora si potrebbe pure dargli un\'occhiata, altrimenti...
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<BR>\"La gloria o il merito di certi uomini è scrivere bene; di altri, non scrivere affatto.\" - Jean de La Bruyère<font color=white><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: HiTLeuLeR il 28-11-2004 21:17 ]
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NicolasBourbaki
- Messaggi: 56
- Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
- Località: Pisa
Se vogliamo questo esercizio è l\'ennesima, evidente,prova della veridicità della massima preferita del mio prof. di Analisi:\"..diffidate dai teoremi aventi enunciati troppo semplici..\"(non già perchè questi siano falsi,ma perchè quasi sempre hanno delle dimostrazioni BESTIALI!!!) <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
Riprendendo una ragionevolissima osservazione sollevatami ier sera in chat dal \"piccolo\" Boll, preciso ad ogni buon fine che, in verità, lo stesso <!-- BBCode Start --><I>proof</I><!-- BBCode End --> di Chebyshev del postulato di Bertrand dimostra come, per n intero > 2, sia garantita l\'esistenza di un primo naturale p <!-- BBCode Start --><B>interno</B><!-- BBCode End --> all\'intervallo [n, 2n], tale cioè che: n < p < 2n. Ciò detto, vi siete procurati il Tom Apostol o non ancora?!?
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<BR>Saluti!!!
<BR>-- Salvo Tr.
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<BR>\"Sto scrivendo un libro. Ho già tutti i numeri delle pagine.\" - Steven Wright<font color=white><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: HiTLeuLeR il 29-11-2004 14:57 ]
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<BR>Saluti!!!
<BR>-- Salvo Tr.
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<BR>\"Sto scrivendo un libro. Ho già tutti i numeri delle pagine.\" - Steven Wright<font color=white><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: HiTLeuLeR il 29-11-2004 14:57 ]
Faccio notare che, supponendo vero questo banale Lemma, che non sto qui a dimostrare perchè tutti voi saprete sicuramente farlo, si giunge a una dimostrazione banale del problema:
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<BR>Lemma: Ogni numero pari>4 può essere scritto come la somma di due primi distinti.
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<BR> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">
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<BR>Lemma: Ogni numero pari>4 può essere scritto come la somma di due primi distinti.
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"Ma devo prendere una n-upla qualsiasi o una n-upla arbitraria?" (Lui)
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Davide_Grossi
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- Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
- Località: San Giuliano Milanese
<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-11-29 22:57, Boll wrote:
<BR>Faccio notare che, supponendo vero questo banale Lemma, che non sto qui a dimostrare perchè tutti voi saprete sicuramente farlo
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
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<BR>Cavolo, a saperlo mandavamo la dimostrazione per aprile di quest\'anno e diventavamo ricchi! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">
<BR>On 2004-11-29 22:57, Boll wrote:
<BR>Faccio notare che, supponendo vero questo banale Lemma, che non sto qui a dimostrare perchè tutti voi saprete sicuramente farlo
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
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<BR>Cavolo, a saperlo mandavamo la dimostrazione per aprile di quest\'anno e diventavamo ricchi! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">
Davide Grossi