Ciao!
<BR>
<BR>Trovare per quali n, interi positivi di due cifre decimali, la somma delle cifre del numero N=10^n -n è divisibile per 170.
<BR>
<BR>Ciao e buon divertimento <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif">
[N] numeri particolari
Moderatore: tutor
Dovrebbe essere solo per n=20, 39, 58, 77, 96. Ora che ne sono sicuro aggiungo un breve proof...
<BR>Supponiamo, come solitamente si usa, che n sia del tipo (10*<!-- BBCode Start --><I>b</I><!-- BBCode End --> + <!-- BBCode Start --><I>a</I><!-- BBCode End -->) e per il momento poniamo <!-- BBCode Start --><I>a</I><!-- BBCode End -->!=0: allora la somma delle cifre sarà molto semplicemente -basta ricordarsi l\'aritmetica delle elementari- 9*(n-2) + (9-<!-- BBCode Start --><I>b</I><!-- BBCode End -->) + (10-<!-- BBCode Start --><I>a</I><!-- BBCode End -->) = 89<!-- BBCode Start --><I>b</I><!-- BBCode End -->+8<!-- BBCode Start --><I>a</I><!-- BBCode End -->+1 (*) --> <!-- BBCode Start --><I>b</I><!-- BBCode End --> è dispari. Inoltre la (*) è equivalente a 17*5<!-- BBCode Start --><I>b</I><!-- BBCode End -->+4<!-- BBCode Start --><I>b</I><!-- BBCode End -->+8<!-- BBCode Start --><I>a</I><!-- BBCode End -->+1 --> 4<!-- BBCode Start --><I>b</I><!-- BBCode End -->+8<!-- BBCode Start --><I>a</I><!-- BBCode End -->+1 deve essere multiplo di 5 e 17. Poichè <!-- BBCode Start --><I>a</I><!-- BBCode End --> e <!-- BBCode Start --><I>b</I><!-- BBCode End --> sono compresi tra 1 e 9, il massimo di 4<!-- BBCode Start --><I>b</I><!-- BBCode End -->+8<!-- BBCode Start --><I>a</I><!-- BBCode End -->+1 è 109 e il minimo 13; 4<!-- BBCode Start --><I>b</I><!-- BBCode End -->+8<!-- BBCode Start --><I>a</I><!-- BBCode End --> è -1mod5 e -1mod17 solo se è uguale a 84. Una soluzione immediata è 39 (oppure 58, io ho usato l\'algoritmo di Euclide); le altre si ottengono aumentando <!-- BBCode Start --><I>b</I><!-- BBCode End --> di 2 e diminuendo <!-- BBCode Start --><I>a</I><!-- BBCode End --> di 1.
<BR>Trovare la soluzione per <!-- BBCode Start --><I>a</I><!-- BBCode End -->=0 è banale, essa è 20.
<BR>
<BR>EDIT: Aggiunto proof, migliorata leggibilità<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: DB85 il 09-12-2004 13:56 ]
<BR>Supponiamo, come solitamente si usa, che n sia del tipo (10*<!-- BBCode Start --><I>b</I><!-- BBCode End --> + <!-- BBCode Start --><I>a</I><!-- BBCode End -->) e per il momento poniamo <!-- BBCode Start --><I>a</I><!-- BBCode End -->!=0: allora la somma delle cifre sarà molto semplicemente -basta ricordarsi l\'aritmetica delle elementari- 9*(n-2) + (9-<!-- BBCode Start --><I>b</I><!-- BBCode End -->) + (10-<!-- BBCode Start --><I>a</I><!-- BBCode End -->) = 89<!-- BBCode Start --><I>b</I><!-- BBCode End -->+8<!-- BBCode Start --><I>a</I><!-- BBCode End -->+1 (*) --> <!-- BBCode Start --><I>b</I><!-- BBCode End --> è dispari. Inoltre la (*) è equivalente a 17*5<!-- BBCode Start --><I>b</I><!-- BBCode End -->+4<!-- BBCode Start --><I>b</I><!-- BBCode End -->+8<!-- BBCode Start --><I>a</I><!-- BBCode End -->+1 --> 4<!-- BBCode Start --><I>b</I><!-- BBCode End -->+8<!-- BBCode Start --><I>a</I><!-- BBCode End -->+1 deve essere multiplo di 5 e 17. Poichè <!-- BBCode Start --><I>a</I><!-- BBCode End --> e <!-- BBCode Start --><I>b</I><!-- BBCode End --> sono compresi tra 1 e 9, il massimo di 4<!-- BBCode Start --><I>b</I><!-- BBCode End -->+8<!-- BBCode Start --><I>a</I><!-- BBCode End -->+1 è 109 e il minimo 13; 4<!-- BBCode Start --><I>b</I><!-- BBCode End -->+8<!-- BBCode Start --><I>a</I><!-- BBCode End --> è -1mod5 e -1mod17 solo se è uguale a 84. Una soluzione immediata è 39 (oppure 58, io ho usato l\'algoritmo di Euclide); le altre si ottengono aumentando <!-- BBCode Start --><I>b</I><!-- BBCode End --> di 2 e diminuendo <!-- BBCode Start --><I>a</I><!-- BBCode End --> di 1.
<BR>Trovare la soluzione per <!-- BBCode Start --><I>a</I><!-- BBCode End -->=0 è banale, essa è 20.
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<BR>EDIT: Aggiunto proof, migliorata leggibilità<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: DB85 il 09-12-2004 13:56 ]
"Le vite degli uomini famosi ci ricordano
Che possiamo rendere sublimi le nostre esistenze
E, morendo, lasciare dietro di noi
Le nostre impronte sulle sabbie del tempo"
Henry Wadsworth Longfellow
Che possiamo rendere sublimi le nostre esistenze
E, morendo, lasciare dietro di noi
Le nostre impronte sulle sabbie del tempo"
Henry Wadsworth Longfellow
<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-12-09 13:20, andrea84 wrote:
<BR>Ottimo lavoro! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>Grazie! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
<BR>On 2004-12-09 13:20, andrea84 wrote:
<BR>Ottimo lavoro! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
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<BR>Grazie! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
"Le vite degli uomini famosi ci ricordano
Che possiamo rendere sublimi le nostre esistenze
E, morendo, lasciare dietro di noi
Le nostre impronte sulle sabbie del tempo"
Henry Wadsworth Longfellow
Che possiamo rendere sublimi le nostre esistenze
E, morendo, lasciare dietro di noi
Le nostre impronte sulle sabbie del tempo"
Henry Wadsworth Longfellow
ma... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_mad.gif"> non vale!!!
<BR>
<BR>questo problema viene da <!-- BBCode Start --><A HREF="http://amate.altervista.org" TARGET="_blank">amate</A><!-- BBCode End -->, dal nuovo Certamen!!!
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<BR>questo problema viene da <!-- BBCode Start --><A HREF="http://amate.altervista.org" TARGET="_blank">amate</A><!-- BBCode End -->, dal nuovo Certamen!!!
Homo sum. Nihil humani a me alienum puto.