Tra gli esercizi delle olimpiadi nazionali spagnole 2003, mi sono imbattuto in questo qui:
<BR>A hexagon has all its angles equal and sides 1, 2, 3, 4, 5, 6 in that order. What is its area?
<BR>
<BR>
esagono spagnolo
Moderatore: tutor
Questa dimostrazione si fonda forse sulla semplice forza bruta dei calcoli, però funziona...
<BR>Chiamo i vertici dell\'esagono A,B,C,D,E,F, partendo da quello comune ai lati lunghi 1 e 6 e andando via via seguendo l\'ordine in cui crescono i lati.
<BR>L\'idea è quella di calcolare l\'area dell\'esagono come somma delle aree dei triangoli ABC, CDE, AEF, ACE.
<BR>Le aree di ABC, CDE, AEF per la formula trigonometrica dell\'area sono rispettivamente Sqrt(3)/2, 3*Sqrt(3),15*Sqrt(3)/2.
<BR>I lati AC, CE, AE sono per il teorema del coseno Sqrt(7), Sqrt(37), Sqrt(91), e quindi l\'area di ACE sarà per la formula di Erone 7/4*Sqrt(174).
<BR>In conclusione l\'area sarà 11*Sqrt(3)+7/4*Sqrt(174). Concordo che è veramente orribile e che sicuramente ho sbagliato qualche calcolo...Si accettano alternative.
<BR>
<BR>Mi accorgo anche che ho dato per scontata l\'esistenza di un simile esagono...è un errore?
<BR>
<BR>\"Non è certo che tutto sia incerto\"(B. Pascal)<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Sisifo il 16-01-2005 14:44 ]
<BR>Chiamo i vertici dell\'esagono A,B,C,D,E,F, partendo da quello comune ai lati lunghi 1 e 6 e andando via via seguendo l\'ordine in cui crescono i lati.
<BR>L\'idea è quella di calcolare l\'area dell\'esagono come somma delle aree dei triangoli ABC, CDE, AEF, ACE.
<BR>Le aree di ABC, CDE, AEF per la formula trigonometrica dell\'area sono rispettivamente Sqrt(3)/2, 3*Sqrt(3),15*Sqrt(3)/2.
<BR>I lati AC, CE, AE sono per il teorema del coseno Sqrt(7), Sqrt(37), Sqrt(91), e quindi l\'area di ACE sarà per la formula di Erone 7/4*Sqrt(174).
<BR>In conclusione l\'area sarà 11*Sqrt(3)+7/4*Sqrt(174). Concordo che è veramente orribile e che sicuramente ho sbagliato qualche calcolo...Si accettano alternative.
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<BR>Mi accorgo anche che ho dato per scontata l\'esistenza di un simile esagono...è un errore?
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<BR>\"Non è certo che tutto sia incerto\"(B. Pascal)<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Sisifo il 16-01-2005 14:44 ]
"Non è certo che tutto sia incerto"(B. Pascal)
Membro dell'associazione "Matematici per la messa al bando del sudoku" fondata da fph
Membro dell'associazione "Matematici per la messa al bando del sudoku" fondata da fph
C\'era un esercizio molto simile in un Cesenatico a cui io ho partecipato... 2001 se non sbaglio, o sicuramente all\'interno dell\'insieme {2000,2001,2002}. Penso che si risolva allo stesso modo: traccia: l\'idea e\' di \"attaccare\" tre triangolini equilateri a tre lati non contigui dell\'esagono e trasformarlo in un triangolo equilatero... poi usare il fatto che i triangoli equilateri hanno tutti i lati uguali
<BR>
<BR>ciao,
<BR>--f
<BR>
<BR>ciao,
<BR>--f
--federico
[tex]\frac1{\sqrt2}\bigl(\left|\text{loves me}\right\rangle+\left|\text{loves me not}\right\rangle\bigr)[/tex]
[tex]\frac1{\sqrt2}\bigl(\left|\text{loves me}\right\rangle+\left|\text{loves me not}\right\rangle\bigr)[/tex]
<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2005-01-16 14:42, Sisifo wrote:
<BR>Mi accorgo anche che ho dato per scontata l\'esistenza di un simile esagono...è un errore?
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>In effetti non saprei...non credo che esista; gli angoli interni potrebbero essere solo di 120° o al limite di 60°(consentirebbe un \"esagono\" intrecciato) ma si verifica per costruzione che per nessuno dei due valori esiste un esagono con il lati di quelle misure. Avevo pensato anche a un esagono degenere di angolo 0°, ma neanche quello funziona. Boh, forse è un problema a trabocchetto, o più semplicemente sono io che non ci arrivo. In ogni caso non riesco a visualizzarlo.
<BR>On 2005-01-16 14:42, Sisifo wrote:
<BR>Mi accorgo anche che ho dato per scontata l\'esistenza di un simile esagono...è un errore?
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>In effetti non saprei...non credo che esista; gli angoli interni potrebbero essere solo di 120° o al limite di 60°(consentirebbe un \"esagono\" intrecciato) ma si verifica per costruzione che per nessuno dei due valori esiste un esagono con il lati di quelle misure. Avevo pensato anche a un esagono degenere di angolo 0°, ma neanche quello funziona. Boh, forse è un problema a trabocchetto, o più semplicemente sono io che non ci arrivo. In ogni caso non riesco a visualizzarlo.
Credo che l\'esagono descritto dal problema non esista.
<BR>Utilizziamo il procedimento descritto da fph.
<BR>Indichiamo con L il lato del triangolo equilatero e con a, b, c, d, e, f, i sei lati dell\'esagono nell\'ordine dato. Se i lati a, c , e, si trovano sui lati del triangolo equilatero, si può facilmente dimostrare che devono essere verificate contemporaneamente le tre condizioni:
<BR>b + c + d = L
<BR>d + e + f = L
<BR>f + a + b = L
<BR>In questo caso si ha b + c + d = 9, d + e + f = 15, f + a + b = 9.
<BR>Utilizziamo il procedimento descritto da fph.
<BR>Indichiamo con L il lato del triangolo equilatero e con a, b, c, d, e, f, i sei lati dell\'esagono nell\'ordine dato. Se i lati a, c , e, si trovano sui lati del triangolo equilatero, si può facilmente dimostrare che devono essere verificate contemporaneamente le tre condizioni:
<BR>b + c + d = L
<BR>d + e + f = L
<BR>f + a + b = L
<BR>In questo caso si ha b + c + d = 9, d + e + f = 15, f + a + b = 9.
Beh, altra dimos di impossibilità, co\'numeri \'omplessi:
<BR>
<BR>[diciamo che l\'esagono è un galantuomo, non è intrecciato, fa cose strane, ecc...]
<BR>
<BR>Per la storia della somma degli angoli interni, dato ch\'è equiangolo, gli angoli interni devono essere 120°. Allora, ponendo w una rad. prim. sesta dell\'unità, si ha che la spezzata si chiude sse sommando i vettori spostamento torno al punto di partenza, ovvero sse:
<BR>
<BR>1+2w+3w<sup>2</sup>+4w<sup>3</sup>+5w<sup>4</sup>+6w<sup>5</sup> = 0.
<BR>
<BR>Ricordando che w<sup>3</sup> = -1 e w<sup>2</sup>=w-1 (si vede fattorizzando w<sup>6</sup>-1), si semplifica il tutto a
<BR>
<BR>-3(1+w+w<sup>2</sup>) = -6w =|= 0. Cioè la spezzata non si chiude. []
<BR>
<BR>Ciao. M.[addsig]
<BR>
<BR>[diciamo che l\'esagono è un galantuomo, non è intrecciato, fa cose strane, ecc...]
<BR>
<BR>Per la storia della somma degli angoli interni, dato ch\'è equiangolo, gli angoli interni devono essere 120°. Allora, ponendo w una rad. prim. sesta dell\'unità, si ha che la spezzata si chiude sse sommando i vettori spostamento torno al punto di partenza, ovvero sse:
<BR>
<BR>1+2w+3w<sup>2</sup>+4w<sup>3</sup>+5w<sup>4</sup>+6w<sup>5</sup> = 0.
<BR>
<BR>Ricordando che w<sup>3</sup> = -1 e w<sup>2</sup>=w-1 (si vede fattorizzando w<sup>6</sup>-1), si semplifica il tutto a
<BR>
<BR>-3(1+w+w<sup>2</sup>) = -6w =|= 0. Cioè la spezzata non si chiude. []
<BR>
<BR>Ciao. M.[addsig]
[i:2epswnx1]già ambasciatore ufficiale di RM in Londra[/i:2epswnx1]
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"Well, master, we're in a fix and no mistake."
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"Well, master, we're in a fix and no mistake."
Per curiosità ho cercato un \"vero\" esagono con i lati delle stesse misure:
<BR>con la sequenza 1 6 2 4 3 5 la figura si chiude.
<BR>In questo caso il calcolo è semplice: ponendo i lati da 1 e 4 orizzontali, si considera il rettangolo esterno che li contiene.
<BR>Si trova: base=6,5; altezza=4sqrt(3).
<BR>Si sottrae l\'area dei 4 triangoli aventi i lati obliqui dell\'esagono per ipotenusa,
<BR>in totale (37/4)sqrt(3) e l\'area dell\'esagono vale (67/4)sqrt(3).
<BR>
<BR>Visto che il problema assegnato è impossibile e che questo rimaneggiato è decisamente banale, rimane sempre da capire cosa volevano veramente gli Spagnoli.
<BR>Arrivederci.
<BR>con la sequenza 1 6 2 4 3 5 la figura si chiude.
<BR>In questo caso il calcolo è semplice: ponendo i lati da 1 e 4 orizzontali, si considera il rettangolo esterno che li contiene.
<BR>Si trova: base=6,5; altezza=4sqrt(3).
<BR>Si sottrae l\'area dei 4 triangoli aventi i lati obliqui dell\'esagono per ipotenusa,
<BR>in totale (37/4)sqrt(3) e l\'area dell\'esagono vale (67/4)sqrt(3).
<BR>
<BR>Visto che il problema assegnato è impossibile e che questo rimaneggiato è decisamente banale, rimane sempre da capire cosa volevano veramente gli Spagnoli.
<BR>Arrivederci.
Daniele Bizzarri
<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2005-01-17 17:42, bizzo wrote:
<BR>Visto che il problema assegnato è impossibile e che questo rimaneggiato è decisamente banale, rimane sempre da capire cosa volevano veramente gli Spagnoli.
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Gli spagnoli volevano che, dato un esagono con quei lati, tu ne trovassi l\'area. Dimostrare che l\'esagono non esiste è un modo per risolverlo, visto che un\'ipotesi falsa implica qualunque proposizione (e quindi anche \"l\'esagono ha un\'area che vale 37\"). Altrimenti potevi usare solo qualcuna delle ipotesi, e dedurre un risultato coerente.
<BR>Visto che il problema è dimostrativo, poco importa quale approccio usi. E\' chiaro che non avrebbe potuto essere un problema a risposta numerica o risposta multipla, dato che ogni risposta è giusta, tranne \"l\'esagono esiste\".
<BR>On 2005-01-17 17:42, bizzo wrote:
<BR>Visto che il problema assegnato è impossibile e che questo rimaneggiato è decisamente banale, rimane sempre da capire cosa volevano veramente gli Spagnoli.
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Gli spagnoli volevano che, dato un esagono con quei lati, tu ne trovassi l\'area. Dimostrare che l\'esagono non esiste è un modo per risolverlo, visto che un\'ipotesi falsa implica qualunque proposizione (e quindi anche \"l\'esagono ha un\'area che vale 37\"). Altrimenti potevi usare solo qualcuna delle ipotesi, e dedurre un risultato coerente.
<BR>Visto che il problema è dimostrativo, poco importa quale approccio usi. E\' chiaro che non avrebbe potuto essere un problema a risposta numerica o risposta multipla, dato che ogni risposta è giusta, tranne \"l\'esagono esiste\".