Sia w(t) una funzione per cui esiste la sua trasformata di Fourier.
Sia data ora la funzione:
f(t)=A*sin[w(t)] con A costante
Supponiamo per semplicità che w(t) sia tale che esista anche la trasformata di Fourier di f(t).
Sapete trovare la relazione generica tra la tdF di f(t) e la tdF di w(t) ?
trasformate e frequenze variabili
Se ho capito quel che intendi, la risposta è "no". Giusto per fare un esempio, la funzione $ w(\cdot): \mathbb{R}\mapsto \mathbb{R}: t \mapsto e^{-t^2} $ si riconosce trasformabile secondo Fourier, e la sua trasformata è pure calcolabile elementarmente, ovvero esprimibile a mezzo di funzioni elementari dell'Analisi. Pur tuttavia, dubito ch'esista al mondo alcuno in grado di esprimere a mezzo di funzioni *note*, e non necessariamente elementari, la trasformata di Fourier della composta $ g(\cdot): \mathbb{R}\mapsto \mathbb{R}: t\mapsto \sin w(t) $.
Semplifichiamo un attimo prendendo :
1- le trasformate di Laplace unilatere
2 - gli esponenziali complessi:
quindi, data una funzione complessa da R in C: f(t), di cui conosco la trasformata di laplace F(s), calcolare la tdL di g(t)=e^[f(t)t].
Ora, se prendo questa funzione e la moltiplico per h(t)=f(t)-s+t*df/dt, (di cui posso calcolare la trasformata H(s)=F(s)-s*delta(0)+conv(s*F(s), 1/s^2)), posso integrare facilmente la:
[f(t)-s+df/dt*t]*e^[(f(t)-s)*t];
Troviamo i valori di s per cui converge questo integrale da 0 a infinito e abbiamo la trasformata L(s)
Ora sappiamo che l(t)=h(t)*g(t),
quindi L(s)=H(s)convG(s)
Quindi dovrei invertire la convoluzione per ricavare G(s) da L(s) e H(s);
Volevo chiedere allora se è effettivamente possibile invertire la convoluzione.
1- le trasformate di Laplace unilatere
2 - gli esponenziali complessi:
quindi, data una funzione complessa da R in C: f(t), di cui conosco la trasformata di laplace F(s), calcolare la tdL di g(t)=e^[f(t)t].
Ora, se prendo questa funzione e la moltiplico per h(t)=f(t)-s+t*df/dt, (di cui posso calcolare la trasformata H(s)=F(s)-s*delta(0)+conv(s*F(s), 1/s^2)), posso integrare facilmente la:
[f(t)-s+df/dt*t]*e^[(f(t)-s)*t];
Troviamo i valori di s per cui converge questo integrale da 0 a infinito e abbiamo la trasformata L(s)
Ora sappiamo che l(t)=h(t)*g(t),
quindi L(s)=H(s)convG(s)
Quindi dovrei invertire la convoluzione per ricavare G(s) da L(s) e H(s);
Volevo chiedere allora se è effettivamente possibile invertire la convoluzione.
Non voglio entrare nel merito dei tuoi argomenti, rargh, che sotto il profilo del rigore Matematico mi lasciamo (sappilo!!!) piuttosto perplesso. Mi limito pertanto a rispondere alla domanda indiretta che poni sulla chiusa! E la risposta è "no", sebbene vada interpretata nel senso del mio precedente intervento su questo stesso topic!!! Le ragioni, poi, dovrebbero pur esserti evidenti...