parallelepipedi

[fur3770]

Spostato da MindFlyer
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Allora anzitutto ciao a tutti...mi ritrovo con un 7 in piu' nel nick perché ho errato l'indirizzo email. se volete potete corregere il mio nick... che dovrebbe essere fur3770.

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Nel parallelepipedo rettangolo di vertici $ A, B, C, D, E, F, G, H $ le facce $ ABCD $ ed $ EFGH $ sono opposte e i segmenti $ AE, BF, CG $ sono spigoli. Inoltre:

$ AB= 3x, AD =4x, AE=2a - x $ <- AB, AD, AE sono segmenti...(non so bene il latex)

essendo $ a $ una lunghezza nota ed $ x $ una lunghezza incognita.
Chiamato $ P $ il piede della perpendicolare condotta da $ A $ alla retta $ FH $, considerare il poliedro $ gamma $ (come si fa il simbolo? ) avente per vertici i punti $ A, B, F, E, P $.
Determinare il valore di $ x $ che rende massimo il volume di $ gamma $, il valore di $ a $ per il quale questo volume massimo è uguale a $ \frac{128}{75} $cm^3$ $ e, infine, per tale valore di $ a $, l'area della superficie del solido $ gamma $ di volume massimo.


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Io l'ho svolto ma sicuro non sono soprattutto sul poliedro... magari questa sera metto la mia soluzione.

[MindFlyer]

mi ritrovo con un 7 in piu' nel nick perché ho errato l'indirizzo email. se volete potete corregere il mio nick... che dovrebbe essere fur3770.

Fatto.

[MindFlyer]

Ma... si tratta forse di un problema di maturità?
Se è così dovresti indicare la fonte, e si provvederà a spostare il thread in Matematica non elementare.

EDIT:
Spostato perché il problema è evidentemente non olimpico.

[fur3770]

ovviamente sì, si tratta di un problema assegnato in uno degli anni scorsi all'esame di maturità ma (diversamente dalla tendenza) che mi sembra per nulla banale. dire l'anno mi sembra superfluo e soprattutto antiproduttivo per chi voglia provarci.. credo cmq che voi "veterani" già abbiate capito...

[fur3770]

wow!!! che considerazione ha avuto questo probl!
ad ogni modo l'ho finito ma non ho voglia di scrivere tutta la soluzione che ruba 3 facciate di quaderno grande soprattutto perché non saprei fare il disegno 3d e quindi si capirebbe poco...

...ma è facile, diversamente da come pensavo... solo un mare di conti...se qualcuno sa fare il disegno 3d lo posti e poi scrivo la sol... altrimenti non avrebbe molto senso.
ciao

[karl]

Si conduca da E la perpendicolare EP ad FH:per il teorema delle tre
perpendicolari sara' AP perpendicolare ad HF.Inoltre sia R
la proiezione di P su EF.
Risulta :
EP=EH*EF/HF=12x/5;PF=EF^2/FH=9x/5;PR=EP*PF/EF=36x/25
Il solido S e' in realta' una piramide (non retta) avente per base
il rettangolo ABFE ed altezza PR e dunque il suo volume V e':
V=FE*FB*PR/3=36*(x^2)*(2a-x)/25.
Poiche' x+(2a-x)=2a=costante ,il massimo di V si ottiene quando risulta:
x/2=(2a-x)/1==>x=4a/3 (accettabile perche'< 2a)
Per tale valore di x V(max) e'dato da :
V(max)=128a^3/75
e dunque il valore corrispondente di a e' :
a=1
Per la superficie (totale) del solido S si puo' osservare che
quest'ultimo e' la somma del quadrilatero FBAE e di 4 triangoli dei
dei quali e' facile calcolare l'area e precisamente:
FBAE e' un rettangolo,EPA e BFP sono rettangoli ,EPF ha per base EF e per
altezza PR mentre dell'altro triangolo si trova l'area con Erone dopo aver calcolato RB ed RA e poi PA e PB (con Pitagora).

[fur3770]

sì, mi trovo $ a=1 $ ma ci sono arrivato per altra via, e cioè calcolo il volume della piramide di cui parli in funzione di $ a $ e $ x $, quindi la tratto come una funzione studiandone la derivata e quindi individuando il valore di $ x $ per cui V è massimo che è appunto $ x= \frac{4}{3} a $.

Per l'area della superficie sono d'accordo e mi viene

$ As=\frac{ 68}{15} +\frac {1}{135} \sqrt {5809} $

sempre che non ho sbagliato i conti.
ah cmq io il disegno l'ho fatto diversamente anche se la sostanza è quella...