intanto concordo con psion metacreativo sull'idea di aprire una nuova sezione per dubbi vari circa scuola e università...
la mia domanda è:
come posso risolvere sommatoria per k da 1 a infinito di k(1\2)^k ?
chiedo anche scusa per non usare i simboli matematici ma non ho ancora imparato...
serie
si calcola grazie ad un identità (che si dimostra banalmente per induzione):
$ \displaystyle \sum_1^n {n \over 2^n} = 2 - {n + 2 \over 2^n} $
passando al limite per $ n \rightarrow \infty $ trovi che fa 2.
$ \displaystyle \sum_1^n {n \over 2^n} = 2 - {n + 2 \over 2^n} $
passando al limite per $ n \rightarrow \infty $ trovi che fa 2.
"E se si sono rotti i freni?"
"Se si sono rotti i freni non ci resta che l'autostop e il viaggio si complica. Faremo il giro del mondo a piedi."
"Se si sono rotti i freni non ci resta che l'autostop e il viaggio si complica. Faremo il giro del mondo a piedi."
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MindFlyer
Bello il metodo di Alex, però in questi casi viene sempre da chiedersi come si possa esplicitare una sommatoria senza tirare fuori la formula finale dal cilindro.
Ecco un metodo alternativo.
Notiamo che la serie ha termini positivi, perciò ha limite $ S $ (eventualmente $ S=+\infty $).
Sia $ \displaystyle S_n=\sum_{i=1}^n {i \over 2^i} $ la successione delle somme parziali della serie.
Si vede facilmente che $ \displaystyle 2S_{n+1}=S_n+\sum_{i=0}^n {1 \over 2^i} $, e facendo tendere $ n $ all'infinito, questa diventa $ 2S=S+2 $, da cui $ S=2 $.
Ecco un metodo alternativo.
Notiamo che la serie ha termini positivi, perciò ha limite $ S $ (eventualmente $ S=+\infty $).
Sia $ \displaystyle S_n=\sum_{i=1}^n {i \over 2^i} $ la successione delle somme parziali della serie.
Si vede facilmente che $ \displaystyle 2S_{n+1}=S_n+\sum_{i=0}^n {1 \over 2^i} $, e facendo tendere $ n $ all'infinito, questa diventa $ 2S=S+2 $, da cui $ S=2 $.
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BlaisorBlade
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Io, più scolasticamente (per analisi 2 però), la risolverei così, innanzitutto ponendo x=1/2 e generalizzando:
$ $ \displaystyle \sum_{i=1}^{+\infty} i \cdot x^i = x \sum_{i=1}^{+\infty} i \cdot x^{i-1} = x D\left(\sum_{i=1}^{+\infty} x^i \right) = \\ x \cdot D\left(\frac{x}{1-x}\right) = x \cdot \frac{1-x+x}{(1-x)^2} = \frac{x}{(1-x)^2} $ $
e valutandolo in $ x=\frac{1}{2} $, ottengo il risultato voluto.
Dipende da che programma avete fatto e che strumenti usa il prof. nelle esercitazioni. Ad esempio, io ho un calcolo simile negli appunti svolto per $ \sum \frac{1}{n2^n} = \sum \frac{x^n}{n} $.
$ $ \displaystyle \sum_{i=1}^{+\infty} i \cdot x^i = x \sum_{i=1}^{+\infty} i \cdot x^{i-1} = x D\left(\sum_{i=1}^{+\infty} x^i \right) = \\ x \cdot D\left(\frac{x}{1-x}\right) = x \cdot \frac{1-x+x}{(1-x)^2} = \frac{x}{(1-x)^2} $ $
e valutandolo in $ x=\frac{1}{2} $, ottengo il risultato voluto.
Dipende da che programma avete fatto e che strumenti usa il prof. nelle esercitazioni. Ad esempio, io ho un calcolo simile negli appunti svolto per $ \sum \frac{1}{n2^n} = \sum \frac{x^n}{n} $.