uff, mi secca postare la cosa qui, visto che secondo me è tanto carina...
però c'è un simbolo che mi costringe a considerarla "non elementare".
dunque, ecco il problema...
siano $ p $ intero e $ q $ intero non negativo tali che $ p^2-2p < q-1 < p^2+2p $.
consideriamo la successione geometrica $ g_n = (p+\sqrt{q})^n $.
determinare, al variare di $ p $ e $ q $ tutti i possibili limiti di $ \{g_n\} $*.
good luck!
*con $ \{x\} $ si indica la parte frazionaria di $ x $, cioè $ x-[x] $, in cui $ [x] $ è il massimo intero minore od uguale a $ x $.
ps. ai vari mods.. se vi va di editare il testo di modo da trovare una formulazione non comprendente la parola "limite" sarei ben contento di vedere questo thread in "algebra"!
limiti sequenziali
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Simo_the_wolf
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Allova... $ p^2-2p+1<q<p^2+2p+1 $ sarebbe $ p-1<\sqrt{q}<p+1 $ cioè $ |p-\sqrt{q}|< 1 $. Definiamo similmente una successione geometrica $ f_n=(p-\sqrt{n})^n $
Ora consideriamo il numero $ g_n+f_n=(p+\sqrt{q})^n+(p-\sqrt{q})^n $. Ovviamente questo numero è intero in quanto i termini della forma $ a \sqrt{q} $ con $ a $ intero hanno segni opposti nei due addendi. Bisogna ora considerare due casi:
1) $ p>\sqrt{q} $. Allora, essendo $ g_n+f_n>g_n>[g_n] $, per ogni $ n $ risulterà (essendo $ p-\sqrt{n}<1 $) $ [ g_n ]=g_n+f_n-1 $ e quindi $ \{g_n\}=1-f_n $. Ma, essendo $ |p-\sqrt{q}|< 1 $ allora $ f_n $ tenderà a $ 0 $ e quindi $ \{g_n\} $ tenderà a 1.
2) $ p<\sqrt{q} $. In questo caso, analogamente, per $ n $ pari risulterà $ \{g_n\}=1-f_n $ ma per n dispari invece sarà $ \{g_n\}=-f_n $ (in quanto $ f_n $ risulterà negativo). Quindi per n pari $ \{g_n\} $ converge a 1 mentre per n dispari convergerà a 0.
Ora consideriamo il numero $ g_n+f_n=(p+\sqrt{q})^n+(p-\sqrt{q})^n $. Ovviamente questo numero è intero in quanto i termini della forma $ a \sqrt{q} $ con $ a $ intero hanno segni opposti nei due addendi. Bisogna ora considerare due casi:
1) $ p>\sqrt{q} $. Allora, essendo $ g_n+f_n>g_n>[g_n] $, per ogni $ n $ risulterà (essendo $ p-\sqrt{n}<1 $) $ [ g_n ]=g_n+f_n-1 $ e quindi $ \{g_n\}=1-f_n $. Ma, essendo $ |p-\sqrt{q}|< 1 $ allora $ f_n $ tenderà a $ 0 $ e quindi $ \{g_n\} $ tenderà a 1.
2) $ p<\sqrt{q} $. In questo caso, analogamente, per $ n $ pari risulterà $ \{g_n\}=1-f_n $ ma per n dispari invece sarà $ \{g_n\}=-f_n $ (in quanto $ f_n $ risulterà negativo). Quindi per n pari $ \{g_n\} $ converge a 1 mentre per n dispari convergerà a 0.