Analisi: a proposito della parte frazionaria di un numero...

[fur3770]

con (a b)INT indico l’integrale di estremi a e b
con SUM il simbolo di sommatoria che va da n = 1 a +infinito

(1 +inf)INT [q(x)]^(x^2)dx = SUM (n n+1)INT [q(x)]^(x^2)dx =

=SUM (0 1)INT [q(t + n)]^[(t+n)^2]dt =

dove con q(x) intendiamo quella cosa x-[x]

(nell’ultimo passaggio ho effettuato la sostituzione x = t + n per ridurre la serie dovrebbe essere lecito)

= SUM (0 1)INT t ^[(t+n)^2]dt <= SUM (0 1)INT t ^(n^2)dt =

= SUM [ [t^(n^2 + 1)]/(n^2 +1) ] tra 0 e 1 =

= SUM 1/(n^2 +1) (*)


Poiché l’integrale di partenza è <= di (*) che è una serie convergente, si può concludere che la funzione è integrabile.
Si può inoltre osservare come la funzione sia integrabile in
[1, +inf) senza essere infinitesima per x che tende a +inf.


spero di non aver detto vaccate
ciao