Il gap dei numeri primi

[HiTLeuLeR]

Problema #1: sia $ \{p_n\}_{n\in\mathbb{N}_0} $ la successione ordinatamente crescente di tutti e soli i numeri primi naturali. Diciamo funzione di gap dei primi la mappa $ \Delta(\cdot): \mathbb{N}_0\mapsto \mathbb{C}: n \mapsto p_{n+1} - p_n $. Si provi che, per ogni $ k\in\mathbb{N}_0 $, esistono infiniti $ n\in\mathbb{N}_0 $ tali che $ \Delta(n) > k $.

[fph]

Cioé: provare che, per ogni naturale $ n $, esistono $ n $ numeri composti consecutivi.

[HiTLeuLeR]

Zì!!! Ma così non vale, uffallalla... Che infatti il problema era volutamente camuffato, siccome già discusso altrove proprio nei termini in cui tu l'hai presentato, fph... Buaaah, guastafeste!!! Sai, mi sarebbe proprio piaciuto vede' quanto ci avrebbero messo i nostri olimpionici per rendersene conto, gh... Poco male, in ogni caso!!! Vorrà dire che passeremo direttamente al piatto forte di questo menù...

Problema #2: mostrare che, per ogni $ n\in\mathbb{N}_0 $, esistono infiniti primi naturali $ p $ tali che $ p+k $ è composto, se $ k = 1, 2, \ldots, n $.

[Simo_the_wolf]

mi pare anche questo uguale... dimostrato che ci sono n interi consecutivi composti, prenderne altri "all'indietro" fino ad arrivare ad un numero primo. In questo modo abbiamo trovato una successione che parte da un primo e di lunghezza > n tale che tutti i termini (a parte il primo) sono composti

[fph]

Zì!!! Ma così non vale, uffallalla... Che infatti il problema era volutamente camuffato, siccome già discusso altrove proprio nei termini in cui tu l'hai presentato, fph... Buaaah, guastafeste!!!

Mi spiace. Ma sai, nelle Olimpiadi di solito si cerca di fare in modo che la difficoltà degli esercizi stia nell'"avere un'idea non banale" piuttosto che nel "disoffuscare la notazione".

ciao,

[MindFlyer]

Sai, mi sarebbe proprio piaciuto vede' quanto ci avrebbero messo i nostri olimpionici per rendersene conto, gh...

Non più di quanto ci hai messo tu a pensarci ed a scriverlo, suppongo.

[HiTLeuLeR]

Uff, non capite! Questo è tutto un grande esperimento, perché c'è chi sostiene cheee... Vabbe', vabbe'!!! Non posso parlare...

@Simo: a posto! Del resto, *tu* confermi la *nostra* ipotesi di lavoro, gh...

EDIT: bisogna festeggiare, Mind, è quasi un anniversario!!! Io e te assieme facciamo un totale di 2000 messaggi, a questo punto della storia. Non è meraviglioso tutto ciò?!?