Convergenza di polinomi
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Convergenza di polinomi
Sia $ P_i: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ un polinomio $ \forall i \in \mathbb{N} $, e si supponga che la successione $ \{P_i\}_{i \in \mathbb{N}} $ converga puntalmente su tutto $ \mathbb{R} $ a una funzione $ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $. Si provi che $ f $ non è necessariamente un polinomio (giusto per riscaldamento). Si provi che $ f $ è necessariamente un polinomio se è soddisfatta almeno una delle seguenti condizioni:
1) la convergenza della successione $ \{P_i\}_{i \in \mathbb{N}} $ a $ f $ è uniforme su tutto $ \mathbb{R} $.
2) la successione $ \{\deg(P_i)\}_{i \in \mathbb{N}} $ dei gradi dei polinomi è limitata, cioé $ \exists M \in \mathbb{R}^+ $ tale che $ |\deg(P_i)| \leq M \; \forall i \in \mathbb{N} $.
1) la convergenza della successione $ \{P_i\}_{i \in \mathbb{N}} $ a $ f $ è uniforme su tutto $ \mathbb{R} $.
2) la successione $ \{\deg(P_i)\}_{i \in \mathbb{N}} $ dei gradi dei polinomi è limitata, cioé $ \exists M \in \mathbb{R}^+ $ tale che $ |\deg(P_i)| \leq M \; \forall i \in \mathbb{N} $.
Re: Convergenza di polinomi
Per ogni $ i\in\mathbb{N} $, si ponga $ P_i(x) := \sum_{k=0}^{i} \frac{x^k}{k!} $, se $ x\in\mathbb{R} $, e si consideri che la funzione esponenziale $ \mathbb{C} \mapsto \mathbb{C}: x \mapsto e^x $ non è un polinomio, poiché non costante e priva di zeri.publiosulpicio ha scritto:Sia $ P_i: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ un polinomio $ \forall i \in \mathbb{N} $, e si supponga che la successione $ \{P_i\}_{i \in \mathbb{N}} $ converga puntalmente su tutto $ \mathbb{R} $ a una funzione $ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $. Si provi che $ f $ non è necessariamente un polinomio (giusto per riscaldamento).
Re: Convergenza di polinomi
Quindi secondo te $ x \mapsto x^2+1 $ non è un polinomio poiché non costante e privo di zeri?HiTLeuLeR ha scritto:la funzione esponenziale $ \mathbb{C} \mapsto \mathbb{C}: x \mapsto e^x $ non è un polinomio, poiché non costante e priva di zeri.
Si può dimostrare che $ x \mapsto e^x $ non è un polinomio considerando che tutte le sue derivate sono prive di zeri.
E quel tuo coso che sarebbe, di grazia? Se di funzione trattasi, beh... direi che ti sei scordato qualche pezzo indietro! Ed anche ammesso, non capisco - proprio non capisco! - come si possa dire che la mappa $ \mathbb{C} \mapsto \mathbb{C}: x \mapsto x^2 + 1 $ è priva di zeri. Quello sconvolto - concedimelo - dovrei esser io, piuttosto...MindFlyer ha scritto: Quindi secondo te $ x \mapsto x^2+1 $ non è un polinomio poiché non costante e privo di zeri?
Tanto per dir qualcosa ... 1)==> 2), infatti
$ \exists i_\epsilon\in\mathbb{N} \ t.c.\ \forall\ k\geq i_\epsilon\quad |P_k(x)-f(x)|<\epsilon\quad \forall\ x\in\mathbb{R} $
per uniforme convergenza; sia $ n=deg(P_{i_\epsilon}) $, allora
$ P_{i_\epsilon}-\epsilon<f(x)<P_{i_\epsilon}+\epsilon $ e dunque
$ \lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x^n}=\lim_{x\to\infty}\frac{P_{i_\epsilon}(x)}{x^n}=L\in\mathbb{R}^* $
Se dunque esiste $ k>i_\epsilon $ per cui $ m=deg(P_k)>n $, allora si ha
$ \lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x^m}=\lim_{x\to\infty}\frac{P_{k}(x)}{x^m}=L'\in\mathbb{R}^* $ ma nel contempo
$ \lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x^m}=\lim_{x\to\infty}\frac{P_{i_\epsilon}(x)}{x^m}=\lim_{x\to\infty}\frac{L}{x^{m-n}}=0 $
e questo è assurdo. Quindi 2).
Non che questo aiuti a risolvere il problema... anche perchè 2)==>1) è ovviamente falso :
$ P_i(x)=p(x)+x^n/i $ con p(x) un polinomio di grado n-1.
Era solo un'osservazione
Corretto il LaTeX. MindFlyer
$ \exists i_\epsilon\in\mathbb{N} \ t.c.\ \forall\ k\geq i_\epsilon\quad |P_k(x)-f(x)|<\epsilon\quad \forall\ x\in\mathbb{R} $
per uniforme convergenza; sia $ n=deg(P_{i_\epsilon}) $, allora
$ P_{i_\epsilon}-\epsilon<f(x)<P_{i_\epsilon}+\epsilon $ e dunque
$ \lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x^n}=\lim_{x\to\infty}\frac{P_{i_\epsilon}(x)}{x^n}=L\in\mathbb{R}^* $
Se dunque esiste $ k>i_\epsilon $ per cui $ m=deg(P_k)>n $, allora si ha
$ \lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x^m}=\lim_{x\to\infty}\frac{P_{k}(x)}{x^m}=L'\in\mathbb{R}^* $ ma nel contempo
$ \lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x^m}=\lim_{x\to\infty}\frac{P_{i_\epsilon}(x)}{x^m}=\lim_{x\to\infty}\frac{L}{x^{m-n}}=0 $
e questo è assurdo. Quindi 2).
Non che questo aiuti a risolvere il problema... anche perchè 2)==>1) è ovviamente falso :
$ P_i(x)=p(x)+x^n/i $ con p(x) un polinomio di grado n-1.
Era solo un'osservazione
Corretto il LaTeX. MindFlyer
uhm...
io c'avevo dato un'occhiata tempo fa (è su un libro che ci hanno proposto come eserciziario), e mi sono venute in mente due cosette..
innanzitutto:
- estraiamo una sottosuccessione della successione iniziale, chiamiamola $ D_i $ (altrimenti non se ne viene più fuori con gli indici), tale che tutti i polinomi hanno lo stesso grado $ d $.
- poiché la convergenza è uniforme su un compatto, non ci può essere nessuna sottosuccessione di coefficienti che diverga all'infinito (si giunge ben presto ad un assurdo), quindi tutte le successioni dei coefficienti sono limitate...
- a questo punto, bolzanoweierstrassizziamo un po', e lavorando con calma e pazienza si dovrebbe giungere a dire che questa successione converge ad un polinomio di grado minore uguale a $ d $.
il lavoro "sporco" sta nell'ultimo punto, che va un tantinello sistemato...
però "informalmente" la cosa dovrebbe funzionare...
ps. aveva due pallini, questo problema, in quel libro... e due pallini ce li ha pure la dimostrazione del metodo della variazione delle costanti, tanto per dare un termine di paragone...
io c'avevo dato un'occhiata tempo fa (è su un libro che ci hanno proposto come eserciziario), e mi sono venute in mente due cosette..
innanzitutto:
- estraiamo una sottosuccessione della successione iniziale, chiamiamola $ D_i $ (altrimenti non se ne viene più fuori con gli indici), tale che tutti i polinomi hanno lo stesso grado $ d $.
- poiché la convergenza è uniforme su un compatto, non ci può essere nessuna sottosuccessione di coefficienti che diverga all'infinito (si giunge ben presto ad un assurdo), quindi tutte le successioni dei coefficienti sono limitate...
- a questo punto, bolzanoweierstrassizziamo un po', e lavorando con calma e pazienza si dovrebbe giungere a dire che questa successione converge ad un polinomio di grado minore uguale a $ d $.
il lavoro "sporco" sta nell'ultimo punto, che va un tantinello sistemato...
però "informalmente" la cosa dovrebbe funzionare...
ps. aveva due pallini, questo problema, in quel libro... e due pallini ce li ha pure la dimostrazione del metodo della variazione delle costanti, tanto per dare un termine di paragone...
Non c'è molto lavoro sporco da fare: prendi una sottosuccessione di polinomi che converga rispetto al primo coefficiente. Da questa, estrai una sottosuccessione che converga rispetto al secondo, etc. Siccome tutti i polinomi hanno lo stesso grado, dopo un numero finito di estrazioni hai una successione di polinomi che converge rispetto a tutti i coefficienti, ergo converge ad un polinomio.ma_go ha scritto: il lavoro "sporco" sta nell'ultimo punto, che va un tantinello sistemato...
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Constatazione (pressochè inutile):
$ P_k(x)=\prod_{j=1}^k (1-\frac{x^2}{j^2\pi^2}) \xrightarrow{\text{puntualmente,} \ \forall x \in \mathbb{R}} \frac{\sin x}{x} $
Mettiamo che il grado dei nostri $ P_k(x) $ sia limitato da una costante N,
e che questi convergano puntualmente su $ \mathbb{R} $ verso $ f $.
Presi N+1 punti qualunque sulla retta reale, $ a_0,\dots,a_n $ abbiamo che
$ \forall \epsilon \geq 0 \ \exists M \ \text{tale che} \ (P_M(a_i)-f(a_i))^2 \leq \epsilon^2 \quad \partial P_M=N $
di conseguenza, per il metodo delle differenze divise,
esisteranno dei coefficienti $ A_0,\dots,A_n $
$ \sum_{j=0}^n A_j f(a_j) \leq \epsilon $
In soldoni, presi gli $ a_i $ molto molto vicini, abbiamo che l'(n+1)-esimo
rapporto differenziale della f è zero a tappeto, dunque f è necessariamente
un polinomio. (Da mettere a posto, ora sono di fretta).
$ P_k(x)=\prod_{j=1}^k (1-\frac{x^2}{j^2\pi^2}) \xrightarrow{\text{puntualmente,} \ \forall x \in \mathbb{R}} \frac{\sin x}{x} $
Mettiamo che il grado dei nostri $ P_k(x) $ sia limitato da una costante N,
e che questi convergano puntualmente su $ \mathbb{R} $ verso $ f $.
Presi N+1 punti qualunque sulla retta reale, $ a_0,\dots,a_n $ abbiamo che
$ \forall \epsilon \geq 0 \ \exists M \ \text{tale che} \ (P_M(a_i)-f(a_i))^2 \leq \epsilon^2 \quad \partial P_M=N $
di conseguenza, per il metodo delle differenze divise,
esisteranno dei coefficienti $ A_0,\dots,A_n $
$ \sum_{j=0}^n A_j f(a_j) \leq \epsilon $
In soldoni, presi gli $ a_i $ molto molto vicini, abbiamo che l'(n+1)-esimo
rapporto differenziale della f è zero a tappeto, dunque f è necessariamente
un polinomio. (Da mettere a posto, ora sono di fretta).
Jack alias elianto84 alias jack202
http://www.matemate.it IL SITO
.::Achtung!!::. - Jordan causa nilpotenza -
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Riesumo questo vecchio topic in quanto mi sembra di ricordare che avesse destato almeno un po' di interesse e ora ho una soluzione decente.
Supponiamo che la successione $ \left\{\deg{\left(P_i}\right)\right\}_{i \in \mathbb{N}} $ sia limitata da una costante $ M $. La funzione $ \|\cdot\| $ che manda il polinomio $ P $ in $ \|P\|=\sum_{j=1}^M P(j) $ è una norma sull'insieme $ V $ dei polinomi di grado non superiore a $ M $ per il principio di identità dei polinomi. Tale spazio è ovviamente finito dimensionale, quindi la norma $ \|\cdot\| $ è equivalente alla norma del $ \sup $ su un qualsiasi compatto $ K $. Sempre poiché $ V $ è finito dimensionale, $ V $ è completo, quindi il limite di $ \left\{P_i\right\}_{i \in \mathbb{N}} $ in norma $ \|\cdot\| $ è un polinomio di grado non superiore a $ M $, inoltre per l'equivalenza tra le norme tale polinomio è anche il limite uniforme su ogni compatto della successione. Osservando infine che la convergenza puntuale di $ \left\{P_i\right\}_{i \in \mathbb{N}} $ implica la convergenza in norma $ \|\cdot\| $ e che limite uniforme e limite puntuale devono coincidere si ha la tesi.
Supponiamo che la successione $ \left\{\deg{\left(P_i}\right)\right\}_{i \in \mathbb{N}} $ sia limitata da una costante $ M $. La funzione $ \|\cdot\| $ che manda il polinomio $ P $ in $ \|P\|=\sum_{j=1}^M P(j) $ è una norma sull'insieme $ V $ dei polinomi di grado non superiore a $ M $ per il principio di identità dei polinomi. Tale spazio è ovviamente finito dimensionale, quindi la norma $ \|\cdot\| $ è equivalente alla norma del $ \sup $ su un qualsiasi compatto $ K $. Sempre poiché $ V $ è finito dimensionale, $ V $ è completo, quindi il limite di $ \left\{P_i\right\}_{i \in \mathbb{N}} $ in norma $ \|\cdot\| $ è un polinomio di grado non superiore a $ M $, inoltre per l'equivalenza tra le norme tale polinomio è anche il limite uniforme su ogni compatto della successione. Osservando infine che la convergenza puntuale di $ \left\{P_i\right\}_{i \in \mathbb{N}} $ implica la convergenza in norma $ \|\cdot\| $ e che limite uniforme e limite puntuale devono coincidere si ha la tesi.