Anelli quozienti di somme di ideali

[BlaisorBlade]

Mentre studiacchiavo un po' con un mio collega che fa Matematica (io sono a Informatica), facendo algebra, mi è venuto in mente questa idea:

Se ho un anello $ A $ e due suoi ideali $ I_1 $ e $ I_2 $, e considero $ \displaystyle \frac{\frac{A}{ I_1}}{ I_2} $ (cioè $ A $ quozientato $ I_1 $ e poi quozientato $ I_2 $), esso è isomorfo a $ {A \over I_1 + I_2}. $ Ad esempio, $ A=\mathbb{Z}, I_1=\mathbb{Z}_6, I_2=\mathbb{Z}_4 $ e il quoziente è isomorfo a $ \mathbb{Z}_2 $.

In effetti, direi "quasi uguale", ma nel primo caso ho classi di classi di elementi di $ A $, nel secondo classi di elementi di $ A $. E per la precisione, in realtà il primo quoziente è $ \displaystyle \frac{\frac{A}{ I_1}}{\frac{I_2}{I_1}} $ (perché $ I_2 $ è ideale di $ A $ e non di $ \frac{A}{I_1} $.

1) Dimostrarlo, o correggermi se sbaglio (c'ho pensato di notte); ho una idea di dimostrazione abbastanza buona, solo non l'ho mai scritta per esteso per guardarla bene.
2) Generalizzazioni sono ben accette!
3) Questo teorema ha un nome, si studia, è troppo inutile?
4) La notazione usata per l'operazione di quoziente non porta a nascondere relazioni così dissimili da quelle valide per l'usuale divisione?

[moebius]

Prima di tutto qualche precisazione. Perchè il quoziente di un anello abbia senso l'ideale deve essere bilatero (cosa che in $ \mathbb{Z} $ avviene sempre essendo commutativo). Inoltre deve essere, con la tua notazione $ I_1 \subseteq I_2 $.
Suppongo poi che tu con $ \mathbb{Z}_n $ intenda l'ideale $ n\mathbb{Z}\subseteq \mathbb{Z} $.
Detto questo, ovviamente il tuo esempio ha poco senso, in quanto $ 6\mathbb{Z}\not \subseteq 4\mathbb{Z} $ e viceversa...
Fammi sapere

[BlaisorBlade]

Sì, mi sono espresso male, devo scrivere nZ. Quando scrivevo Z_n pensavo al risultato del quoziente.

In effetti, la cosa è un po' più incasinata, quindi posto un po' quello che l'esempio voleva essere e poi l'idea che avevo di dimostrazione (perlomeno per la prima formulazione, dove ha un po' più senso). Lo svolgo per ideali principali ma penso che vada bene comunque.

Dunque, 6Z + 4Z = 2Z (per l'identità di Bezout, dato che MCD(6,4) = 2). Quindi A / (I_1 + I_2) = Z_2 (questa volta intendo proprio lle classi di congruenza modulo 2).

A / 6Z = Z_6. Se ora, su Z_6, faccio le congruenze modulo 4, ho che 2 = 2+4 = 6 = 0, o meglio: la classe 2 viene resa equivalente alla classe 2 + 4 = 6 = 0 (questi uguali significano "è proprio la stessa classe"). Questo è il concetto che voglio esprimere.


In effetti, esprimere questo "fare le congruenze modulo 4" mediante ideali è difficile... all'inizio usavo 4Z e non funziona come ho messo nel post, 4Z / 6Z non esiste come hai osservato tu... si può far esistere in un senso più vasto, nel senso di "la relazione di equivalenza tra elementi di 4Z è x-y sta in 6Z", ma non è quello che voglio esprimere.

In generale:

Allora, se quoziento Z su nZ (cioè I_1), la relazione di equivalenza che nasce è "xRy se e solo se x-y è in nZ, cioè se n | (x-y)". Il quoziente che ottengo, a tutti gli effetti, è Z_n (anzi, coincidono proprio le definizioni, non si tratta di isomorfismo).

Nel quozientarla poi su mZ (cioè I_2), la relazione che ho tra le due classi X e Y, elementi del primo quoziente, è (o dovrebbe essere): X-Y sta in I_2, cioè dato x in X e y in Y, entrambi qualunque, la loro differenza, nuova classe del primo quoziente (che va considerata modulo n) sta in I_2".

Se sfruttiamo il fatto che Z/(nZ) = Z_n, allora posso dire: dati x e y in Z_n, la nuova equivalenza è xRy se e solo se x-y è congruo a 0 modulo m.

[moebius]

Ho più o meno capito...
E' una conseguenza del primo teorema di omomorfismo per anelli, considerando la composizione della funzione che manda prima Z nel suo quoziente per nZ con quella che manda ogni elemento del quoziene nelle classi resto modulo m; è banale osservare che il nucleo di questa applicazione e l'ideale (nZ + m Z), da cui la tesi.

[BlaisorBlade]

Ho più o meno capito... considerando la composizione della funzione che manda prima Z nel suo quoziente per nZ con quella che manda ogni elemento del quoziene nelle classi resto modulo m; è banale osservare che il nucleo di questa applicazione e l'ideale (nZ + m Z), da cui la tesi.

Hmm, ok, quindi l'unico "problema" è che la seconda applicazione non è esprimibile come quoziente su un ideale "elegante da formulare"; ovviamente in realtà si può trovare il nucleo di tale quoziente, ma alla fine penso che il nucleo della seconda applicazione sia isomorfo a 2Z = (nZ+mZ).

Ora, allo stesso modo, si può generalizzare elegantemente? Intanto nella forma qui sopra non è necessario che il primo ideale sia un ideale principale, mi sembra... e per il secondo ideale usato?

[moebius]

Dipende da quanto e come vuoi generalizzare...
Senza rendersene conto si sono usate molte proprietà di Z come anello (per dirne una il fatto che sia fattoriale) anche solo per dare un senso a ipotesi e tesi.
La generalizzazione più naturale di tutto questo (intesa come meno ipotesi e tesi simile) è un corollario del teorema di omomorfismo per anelli, noto come "terzo teorema di omomorfismo per anelli".
Però, come ti ripeto, dipende da cosa significa per te generalizzare

[Catraga]

La versione corretta e' la versione con il quoziente di quoziente, altrimenti dal punto di vista formale non ha molto senso, poiche' manca la coerenza di struttura logica (il quoziente si fa su una sottoalgebra, in questo caso le sottoalgebre di un anello sono gli ideali, che sono per definizione un sottoinsieme dell'algebra, ma un ideale dell'anello non e' una sottoalgebra del quoziente). Il teorema si chiama terzo teorema di omomorfismo dell'algebra e si puo' dimostrare in casi ben piu' generali rispetto ai comuni anelli finiti di interi. Non e' vero che il quoziente si comporta come la divisione, anzi, se mai studierai teoria dei gruppi, bastano anche le cose piu' elementari, scopri che GH/H non e' isomorfo a G: dove con GH si dhica l'isieme costituito dai prodotti gh con g in G e h in H.

[BlaisorBlade]

Sì, sul fatto che per avere senso debba essere col quoziente di quozienti, ci siamo, ma il problema che avevo è che anche così è difficile dargli un senso...

Scusate il fatto che non vada a cercarmelo io, ma qual è quindi l'enunciato generale? Ovvero, cosa dice il terzo teorema di omomorfismo?

[Catraga]

Non te la posso dare nelle versione piu' generale (sono troppo pigro per definire tutto il necessaire), ma te la posso dare per il caso delle strutture algebriche. Sia A una struttura algebrica, B una struttura algebrica compatibile per A (un sottogruppo normale, un ideale, una sottoalgebra) e C un struttura compatibile per A e B, allora si ha che: (A/C)/(B/C) e' isomorfo a A/B.