probabilità con insiemi continui

[info]

SPAVENTOSAMENTE OFF-TOPIC MA TUTTO QUESTO NACQUE DALLA LETTURA DI POCHE RIGHE DEI VOSTRI POST SOPRA:

Salve, non ho ancora provato a fare il problema [ma lo farò quando verrà la voglia!!!]...... ho letto di sfuggita qualche riga che mi ha fatto riflettere un attimo su una questione geometrica. Prendiamo una retta r ed una semi-circonferenza gamma (centro O) [con estremi X ed Y di modo che XY sia parallelo ad r] tangente ad r in A . Definiamo una corrispondenza biunivoca tra i punti di gamma e quelli di r in questo modo (questa funzione l’ho vista tempo fa sul mio libro di mate: non è una mia creazione). Ad un punto P su r associo P’ di modo che P’ sia su gamma e O P e P’ siano allineati. In sostanza abbiamo una funzione con dominio la retta ae come condominio gamma meno gli estremi X ed Y….

La questione è questa… Sia r vista come rappresentazione dei numeri reali. Per costruzione (credo) i numeri reali su r sono disposti con una certa “densità” uniforme (ha senso dire ciò?)… come saranno posti i numeri reali su gamma?

Prendo un angolo alfa e disegno il triangolo rettangolo AOC con AOC =alfa e C su r; prendo beta e disegno un triangolo rettangolo AOD con D su r e AOD=alfa+beta (chiaro il disegno?). C e D siano dalla medesima parte rispetto ad A. OC intersechi gamma in M e OD intersechi gamma in T.

Ora definisco il limite: lim [beta->0] (CD/MT)… che vorrebbe essere un indice della “densità” dei numeri reali su gamma relativa ad un intervallo infinitesimo definito da alfa. Cioè quanti reali vi sono per unità di lunghezza su gamma (infiniti certo, ma quanto infiniti?)… ponendo r = 1 per semplicità, il limite mi viene [dopo un pò di prostaferesi!] uguale ad [1/(cos^a)], sempre che non abbia sbagliato i calcoli, e quindi dipende in modo piuttosto continuo da alfa… per cosa=1 la densità dei numeri reali su gamma dovrebbe essere uguale a quella su r...


Ora la domanda è questa… io non so molto di preciso su questi argomenti… Vi è un rapporto tra quel limite e la cardinalità degli insiemi? (che credo esprima quanti numeri ci sono dentro un insieme)??? E se vi è questo rapporto, si può dire che questa varia in modo continuo? Che rapporto vi è con la cardinalità di R???? Cantor c'entra qualcosa????


Quanto poco senso hanno queste domande?????

[hexen]

il limite è quello, confermato con derive

cmq se facessimo

$ $\lim_{\beta \rightarrow 0^+} \frac{\overline{CD}}{\stackrel{\frown}{MT}}$ $ (mi sembra più giusto farlo con l'arco MT che con l'omonimo segmento) avremmo

$ $\lim_{\beta \rightarrow 0^+} \frac{\not R[\tan(\alpha + \beta)-\tan \alpha]}{\not R\beta}$ $ anche se dà lo stesso $ \sec^2 \alpha $

Se invece considerassimo solo l'angolo $ \alpha $ e i punti A, C e C' e facessimo il limite del rapporto
(segmento sulla retta)/(arco corrispondente su $ \Gamma $) avremmo

$ $\lim_{\alpha \rightarrow 0^+} \frac{\not R \tan \alpha}{\not R \alpha} = 1$ $ che dimostra il segmento e l'arco sono infinitesimi simultanei per $ \alpha \rightarrow 0 $

in tutto questo R è il raggio della circonferenza

[hexen]

scusa info hai ragione, la presenza dell'angolo $ \alpha $ generalizza la cosa... dallo studio di $ \sec^2 \alpha $ possiamo dire che gli infinitesimi sono simultanei per $ \alpha \rightarrow 0 $ e che l'arco di circonferenza è di ordine superiore per $ \alpha \rightarrow \pi /2 $