Due triangoli equilateri (sns 1968)

[mark86]

Sono dati in un piano quattro punti $ A, B, C, D $, in modo che $ A, B, C $ e $ A, B, D $ sono vertici di triangoli equilateri distinti. Determinare tutte le circonferenze $ \beta $ che godono della seguente proprietà: i quattro punti $ A, B, C, D $, hanno dalla circonferenza $ \beta $ uguale distanza.

Io ho trovato che per ragioni di simmetria il centro delle circonferenze deve giacere nel punto medio del lato in comune e che il valore del raggio deve essere compreso fra quello della metà del lato e quello dell'altezza cioè $ \frac{l}{2}<r<\frac{\sqrt{3}}{2} l $ e in particolare deve essere uguale alla media di questi due valori, cioè

$ r=\frac{\sqrt{3}+1}{4}l $

Corretto?[/tex]

[karl]

Che cos'e' la distanza di un punto da una circonferenza?

[mark86]

La distanza di un punto da una circonferenza è il più piccolo segmento che congiunge il punto dato con la circonferenza stessa... almeno mi auguro che sia così!!!!

[Sisifo]

Sì, e per essere precisi è la distanza tra il punto P dato e il punto T, che si trova tra P e il centro della circonferenza lungo la loro congiungente. Non credo che sia da dimostrare in una gara, ma se qualcuno vuole esercitarsi...

[Hammond]

Come si definisce la distanza dalla circonferenza di un punto interno ad essa?
Perchè, se non viene considerata negativa ad esempio, andrebbero bene anche le circonferenze centrate in A e B con raggio $ \frac12 $...

[mark86]

Credo che vadano bene anche quelle centrate in A e B con raggio $ l/2 $ ma come si fa a dimostrare che sono le uniche????Cioè che le circonferenze cercate sono in tutto queste tre? (Non mi pare ce ne possano essere altre....

[Hammond]

In realtà non ho pensato molto al problema, la mia era solo un'osservazione buttata lì... anzi mi scuso con mark86 per non aver prima letto la sua soluzione, che comprende infatti dei punti interni e che rende inutile la mia domanda...