IMO 2005 - Problema B1

[EvaristeG]

Determinare quali interi positivi sono coprimi con ciascun termine della successione (infinita) definita da
$ a_n=2^n+3^n+6^n-1 $
per n naturale.

[Boll]

D'ora in poi $ p $ è un primo maggiore di 3

Per Fermat

$ 2^{p-2}\equiv 2^{-1} $ mod $ p $ (poichè il modulo è primo posso usare questa scrittura, ovviamente il termine a destra non è una frazione, ma l'inverso moltiplicativo)

analogamente

$ 3^{p-2}\equiv 3^{-1} $
$ 6^{p-2}\equiv 6^{-1} $

quindi $ a_{p-2}=1/2+1/3+1/6-1=0 $ mod p
quindi tutti i primi tolti 2 e 3 dividono almeno un termine della successione, ora basta osservare che se poniamo $ n=2 $, $ a_n $ è pari e zero modulo 3.

Quindi ogni numero primo, e di conseguenza ogni composto, ha un fattore comune con almeno un termine di quella successione, quindi l'unico intero positivo che soddisfa è 1.

EDIT: Cambiata terminologia
EDIT 2: Dimenticai di rispondere alla domanda del problema

[psion_metacreativo]

[...]quindi tutti i primi tolti 2 e 3 compaiono sicuramente nella successione[...]

Vuoi dire che quella successione genera TUTTI i numeri primi? Allora Dio esiste!!!

Ok volevi dire che per ogni numero primo esistono termini in quella successione divisibili per quel numero primo, ma non ho resistito a citarti perchè penso sia il sogno impossibile di ogni matematico scrivere quella frase alla fine della sua dimostrazione...

[moebius]

Il fatto che tutti i numeri primi compaiano in una successione è cosa ben diversa dall'avere una successione che genera tutti e soli i numeri primi...
Anche anche nella successione $ \displaystyle a_n=n \quad n \in \mathbb{N} $ compaiono tutti i primi, ma nessuno se ne meraviglia

[HiTLeuLeR]

Ehmmm... Guardate, ragazzi miei, che (fra le altre) esistono la formula di Gandhi e quella di Rodriguez. Maaah...