a) Provare che il prodotto di due interi esprimibili nella forma $ a^2+3b^2 $ con $ a,b \in \mathbb N $ è ancora della stessa forma
b) Provare che se $ n $ è un intero tale che $ 7n $ è esprimibile nella forma $ a^2+3b^2 $, allora lo sarà anche $ n $ stesso.
preIMO '98, Mumbai
Sono appena risalito dal mare per vuotare lo stomaco (...) dalla rivoltante insalata di riso della Tiziana... 
Che ingrato, vero?! 
Maroooooo, che dolore de panza... 
Dim.: banalmente $ (x^2 + my^2)(z^2 +mt^2) = $ $ (xz)^2 + m\cdot (xt)^2 + m\cdot (yz)^2 + (myt)^2 = $ $ (xz)^2 \pm 2mxyzt + (myt)^2 + m\cdot [(xt)^2 \mp 2xyzt + (yz)^2] $ $ = (xz \pm myt)^2 + m\cdot (xt \mp yz)^2 $, q.e.d.
In tutta evidenza, la a) è un caso particolare dell'identità precedente.
Che ingrato, vero?! Maroooooo, che dolore de panza... Identità di Fibonacci: per ogni $ x,y,z,t,m\in\mathbb{C} $: $ (x^2 + my^2)(z^2 +mt^2) = (xz \pm myt)^2 + m\cdot (xt \mp yz)^2 $.ReKaio ha scritto:a) Provare che il prodotto di due interi esprimibili nella forma $ a^2+3b^2 $ con $ a,b \in \mathbb N $ è ancora della stessa forma.
Dim.: banalmente $ (x^2 + my^2)(z^2 +mt^2) = $ $ (xz)^2 + m\cdot (xt)^2 + m\cdot (yz)^2 + (myt)^2 = $ $ (xz)^2 \pm 2mxyzt + (myt)^2 + m\cdot [(xt)^2 \mp 2xyzt + (yz)^2] $ $ = (xz \pm myt)^2 + m\cdot (xt \mp yz)^2 $, q.e.d.
In tutta evidenza, la a) è un caso particolare dell'identità precedente.
Dev'essere $ a^2 + 3b^2 \equiv 0 \bmod 7 $, e quindi $ a^2 - 4b^2 \equiv 0 \bmod 7 $. Dunque $ 7 \mid (a + 2b) $ oppure $ 7 \mid (a-2b) $. Poniamo allora, rispettivamente nei due casi: $ \displaystyle y = \frac{a \pm 2b}{7} $ ed $ \displaystyle x = 2y - b = \frac{2a \mp 3b}{7} $, e osserviamo che $ x $ ed $ y $ sono interi. Ebbene $ \displaystyle x^2 + 3y^2 = \frac{4a^2 \mp 12 ab+ 9b^2}{7^2} + 3 \cdot \frac{a^2 \pm 4ab + 4b^2}{7^2} = $ $ \displaystyle\frac{a^2 + 3b^2}{7} = n $. Da qui la tesi, q.e.d.ReKaio ha scritto:b) Provare che se $ n $ è un intero tale che $ 7n $ è esprimibile nella forma $ a^2+3b^2 $, allora lo sarà anche $ n $ stesso.
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Simo_the_wolf
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La parte a si puo' risolvere anche con un "trucchetto"...
Diciamo che
$ a^2+3b^2=(a+i\sqrt{3}b)(a-i\sqrt{3}b) $
$ c^2+3d^2=(c+i\sqrt{3}d)(c-i\sqrt{3}d) $
Ora abbiamo che
$ (a+i\sqrt{3}b)(c+i\sqrt{3}d)=(ac-3bd)+i\sqrt{3}(ad+bc) $
$ (a-i\sqrt{3}b)(c-i\sqrt{3}d)=(ac-3bd)-i\sqrt{3}(ad+bc) $
E quindi
$ (a^2+3b^2)(c^2+3d^2)= $
$ =(a+i\sqrt{3}b)(c+i\sqrt{3}d)(a-i\sqrt{3}b)(c-i\sqrt{3}d)= $
$ =((ac-3bd)+i\sqrt{3}(ad+bc))((ac-3bd)-i\sqrt{3}(ad+bc))= $
$ =(ac-3bd)^2+3(ad+bc)^2 $
Diciamo che
$ a^2+3b^2=(a+i\sqrt{3}b)(a-i\sqrt{3}b) $
$ c^2+3d^2=(c+i\sqrt{3}d)(c-i\sqrt{3}d) $
Ora abbiamo che
$ (a+i\sqrt{3}b)(c+i\sqrt{3}d)=(ac-3bd)+i\sqrt{3}(ad+bc) $
$ (a-i\sqrt{3}b)(c-i\sqrt{3}d)=(ac-3bd)-i\sqrt{3}(ad+bc) $
E quindi
$ (a^2+3b^2)(c^2+3d^2)= $
$ =(a+i\sqrt{3}b)(c+i\sqrt{3}d)(a-i\sqrt{3}b)(c-i\sqrt{3}d)= $
$ =((ac-3bd)+i\sqrt{3}(ad+bc))((ac-3bd)-i\sqrt{3}(ad+bc))= $
$ =(ac-3bd)^2+3(ad+bc)^2 $