Più di Cauchy!

[Boll]

Avverto fin da ora che di questo problema mi è nota solo la mia soluzione, che potrebbe essere benissimo errata, il problema potrebbe inoltre non essere risolvibile visto che ci ho pensato ieri notte verso le 2...



Problema

Prese $ m $ n-uple di reali positivi $ \{a_{n,1}\},\{a_{n,2}\},\dots,\{a_{n,m}\} $ (il primo numero è il posto nell'n-upla, il secondo il posto dell'n-upla fra le altre), dimostrare che:

$ \displaystyle \prod_{k=1}^{m} \sum_{i=1}^{n} a_{i,k}\ge \left( \sum_{k=1}^{n}\sqrt[m]{\prod_{i=1}^{m}a_{k,i}}\right)^m $

EDIT: Personalità "affidabili" del sito hanno risolto il problema al mio stesso modo, il problema è pertanto dichiarato risolvibile

[karl]

Esplicitando la diseguaglianza si ha:
(1) $ (a_{11}+a_{21}+\dots+a_{n1})\dots (a_{1m}+a_{2m}+\dots+a_{nm}) $ $ \geq (\sqrt[m]{a_{11}a_{12}\dots a_{1m}}+\dots+\sqrt[m]{a_{n1}a_{n2}\dots a_{nm}})^m $
Da questa relazione deduciamo che :
a)I numeri $ a_{ij} $ si possono considerare come i termini di una
matrice M ad n righe ed m colonne.
b) Il primo membro della (1) e' il prodotto di m somme i cui n addendi sono gli elementi di ciascuna colonna di M.
c)Il secondo membro della (1) e' il prodotto di m somme tutte eguali
i cui n addendi sono le radici m-esime del prodotto degli elementi di ciascuna riga di M.
d) I due membri della (1) ,una volta fatti i calcoli, hanno ciascuno $ n^m $
termini.
Se ora ,dopo aver appunto fatto i calcoli in entrambi i membri della (1) ,passiamo
tutto a primo membro accade che alcuni termini si semplificano (e precisamente
i prodotti dei termini di ciascuna riga di M) con i loro opposti mentre quelli che
restano,opportunamente raggruppati, si rivelano essere la differenza di una somma e della media geometrica degli addendi di questa stessa somma
moltiplicata (la media!) per il numero degli addendi.
Tali differenze per AM-GM sono non negative e cio' prova la tesi.
Elaborare questa procedura in forma generale mi porterebbe facilmente
a ..ferragosto e percio' aspettero' con fiducia soluzioni meno..fantasiose della
mia (Boll fatti sotto!!).
Nell'attesa cerco di chiarire la mia idea con qualche esempio.

1° n=3 ,m=2.
La matrice M e' :
a...b
m..n
p..q
e la (1) diventa:
$ (a+m+p)(b+n+q) \geq (\sqrt{ab}+\sqrt{mn}+\sqrt{pq})^2 $
Sviluppando il primo membro P si ha:
$ P=(ab+mn+pq)+(an+mb)+(aq+pb)+(mq+pn) $ $ \geq ab+mn+pq+2\sqrt{abmn}+2\sqrt{abpq}+2\sqrt{mnpq}= $$ =(\sqrt{ab}+\sqrt{mn}+\sqrt{pq})^2 $

2° n=2,m=3.
La matrice M e' :
a...b...c
m..n...p
e la (1) diventa:
$ (a+m)(b+n)(c+p) \geq (\sqrt[3]{abc}+\sqrt[3]{mnp}})^3 $
Sviluppando il primo membro P si ha:
$ P=(abp+anc+mbc)+(anp+mbp+mnc)+(abc+mnp) $ $ \geq abc+mnp+3\sqrt[3]{a^2b^2c^2mnp}+3\sqrt[3]{abcm^2n^2p^2}= $$ =(\sqrt[3]{abc}+\sqrt[3]{mnp}})^3 $

[peppeporc]

Ma da dove li fate passare i libri per mettervi in testa quello che sapete?? Non è confortante scoprire che si sa pochissimo della matematica: mi fate sembrare piccino piccino
Cmq complimenti e tranquillizzatemi sul fatto che sia normale 1 17 anni non conoscere quelle cose...


PS: ma seriamente: come ci riuscite?

[MindFlyer]

Ma da dove li fate passare i libri per mettervi in testa quello che sapete??

C'è chi i libri li usa come carta igienica...

[Boll]

A questa veneranda ora non ho voglia di essere formale e nei prossimi giorni sarò a Caldè di Castelveccana, quindi, karl, ti lascio l'hint, prova a formalizzarlo, sennò poi posto.

HINT: Induzione su m + Holder

[Marco]

Ma da dove li fate passare i libri per mettervi in testa quello che sapete?? Non è confortante scoprire che si sa pochissimo della matematica: mi fate sembrare piccino piccino
Cmq complimenti e tranquillizzatemi sul fatto che sia normale 1 17 anni non conoscere quelle cose...

PS: ma seriamente: come ci riuscite?

E' un po' off-topic, ma tranquillizziamo il buon Peppe.

Intanto, come puoi vedere dal numero di messaggi postati, hai a che fare con alcuni degli utenti più "stagionati" (nel senso dell'esperienza, non dell'età...) del Forum. Che un po' d'anni fa, magari, si sono trovati più o meno nelle tue condizioni, ma che adesso macinano allegramente problemi e teoremi che sembrano scesi dalla Luna o da Marte.

Le conoscenze che normalmente si usano per risolvere i problemi olimpici si basano molto spesso, non tanto su "libri passati in testa", ma su anni e anni di esperienza sul campo (spesso aiutata da qualche buon libro). Io stesso stimo di avere affrontato qualcosa come qualche migliaio di problemi olimpici...

Aggiungi inoltre che una larga fetta degli utenti del Forum ha già esperienza di gare di matematica, studia all'università, spesso proprio matematica, o che è addirittura già laureata, e capisci come un neofita studente di scuola superiore si trovi come minimo spaesato: è perfettamente normale.

Se sei qui e ti diverti a studiare i problemi e a cercare di seguire le soluzioni di quelli più bravi, beh, sei nel posto giusto e, con un po' di impegno e del tuo tempo, hai buone speranze per le gare dei prossimi anni.

Non esitare a chiedere e a sfruttare l'esperienza "dei grandi". Questo spazio di discussione esiste proprio per questo.

Ah, e mi raccomando, non chiedere mai scusa per l'ignoranza!

A presto.

M.