Il problema sembra una via di mezzo fra uno di Algebra e uno di Geometria ma poichè l'obiettivo è di tipo geometrico ho preferito postarlo qui...
Siano $ p,q,r $ numeri reali. Si sa che le tre radici dell'equazione
$ x^3-px^2+qx+r=0 $
sono strettamente positive. Quale condizione su $ p,q,r $ garantisce l'esistenza di un triangolo avente lati di lunghezza pari alle tre radici?
Posto in piccolo il mio risultato (alla maniera "Bolliana"), da confrontare e discutere con le altre soluzioni
5pq-p^3-6r>0
Polinomio geometrico... (sns 1999)
La relazione $ 5pq-p^3-6r>0 $ non sembra quella giusta.
Infatti se si considera l'equazione:
$ x^3-6x^2+11x-6=0 $ si ha p=6,q=11,r=-6 e risulta:
$ 5pq-p^3-6r=5(6)(11)-6^3-6(-6)=150>0 $.
La relazione da te indicata e' dunque soddisfatta ma le radici dell'equazione
sono 1,2,3 e non costituiscono i lati di un triangolo.
Infatti se si considera l'equazione:
$ x^3-6x^2+11x-6=0 $ si ha p=6,q=11,r=-6 e risulta:
$ 5pq-p^3-6r=5(6)(11)-6^3-6(-6)=150>0 $.
La relazione da te indicata e' dunque soddisfatta ma le radici dell'equazione
sono 1,2,3 e non costituiscono i lati di un triangolo.
diseguaglianza triangolare, $ a,b,c $ radici dell'equazione, sono lati di un triangolo se
$ (a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c) > 0 $
facendo un po' di conti:
$ -(a^3+b^3+c^3)+(a^2b+ab^2+a^2c+ac^2+b^2c+bc^2-2abc>0 $
fattorizzo in forme simmetriche
$ -(a+b+c)^3+4(a^2b+ab^2+a^2c+ac^2+b^2c+bc^2)+4abc>0 $
$ -(a+b+c)^3+4(ab+bc+ac)(a+b+c)-8abc>0 $
e visto che i coefficenti del polinomio sono:
$ p=a+b+c $
$ q=ab+bc+ac $
$ r=-abc $
sostituendo nella diseguaglianza triangolare ottengo
$ -p^3+4pq+8r>0 $
$ p^3<4pq+8r $
che è la condizione richiesta
$ (a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c) > 0 $
facendo un po' di conti:
$ -(a^3+b^3+c^3)+(a^2b+ab^2+a^2c+ac^2+b^2c+bc^2-2abc>0 $
fattorizzo in forme simmetriche
$ -(a+b+c)^3+4(a^2b+ab^2+a^2c+ac^2+b^2c+bc^2)+4abc>0 $
$ -(a+b+c)^3+4(ab+bc+ac)(a+b+c)-8abc>0 $
e visto che i coefficenti del polinomio sono:
$ p=a+b+c $
$ q=ab+bc+ac $
$ r=-abc $
sostituendo nella diseguaglianza triangolare ottengo
$ -p^3+4pq+8r>0 $
$ p^3<4pq+8r $
che è la condizione richiesta
_k_
Spiego allora come ho ottenuto quel risultato nella speranza che possa capire cos’è che non va.
Per il polinomio in questione possiamo scrivere le relazioni fra i coefficienti e le radici nel seguente modo:
(1) $ x_1+x_2+x_3=p $
(2) $ x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3=q $
(3) $ x_1x_2x_3=-r $
Dal fatto che $ x_1,x_2,x_3>0 $ concludiamo in merito alle relazioni scritte sopra che $ p,q>0 $ e $ r<0 $.
Consideriamo uno qualsiasi dei lati del triangolo, diciamo quello di lunghezza $ x_1 $. Possiamo scrivere quindi che $ x_1<x_2+x_3 $ (ogni lato è minore della somma degli altri due). Sommando ai due membri della disuguaglianza $ x_1 $ otteniamo $ 2x_1<x_1+x_2+x_3=p $ e pertanto diciamo che
$ x_1<p/2 $.
Sfruttando la (3) ricaviamo
$ x_1=-\frac{r}{x_2x_3}<p/2 $ e quindi $ x_2x_3>-2r/p $.
Dalla (2)
$ x_2x_3=q-x_1x_2-x_1x_3>-2r/p $ e cioè
$ q+2r/p>x_1x_2+x_1x_3 $. In merito a quest’ultima disuguaglianza possiamo scrivere
$ q+2r/p>x_1(x_2+x_3) $
$ \frac {1}{x_1}(q+2r/p)>x_2+x_3>x_1 $ e concludendo
$ x_1^2<q+2r/p $. Poiché tale disuguaglianza deve valere per ogni radice allora deve essere anche
$ x_2^2<q+2r/p $
$ x_3^2<q+2r/p $, infine otteniamo
$ x_1^2+x_2^2+x_3^2<3(q+2r/p) $. Per le relazioni fra i coefficienti e le radici sappiamo che
$ x_1^2+x_2^2+x_3^2=p^2-2q $ e alla fine otteniamo la tanto affannata
$ 5pq-p^3-6r>0 $. Mi auguro che siano problemi di calcoli o una svista innocua altrimenti…. Sono c**zi (per me naturalmente)
Per il polinomio in questione possiamo scrivere le relazioni fra i coefficienti e le radici nel seguente modo:
(1) $ x_1+x_2+x_3=p $
(2) $ x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3=q $
(3) $ x_1x_2x_3=-r $
Dal fatto che $ x_1,x_2,x_3>0 $ concludiamo in merito alle relazioni scritte sopra che $ p,q>0 $ e $ r<0 $.
Consideriamo uno qualsiasi dei lati del triangolo, diciamo quello di lunghezza $ x_1 $. Possiamo scrivere quindi che $ x_1<x_2+x_3 $ (ogni lato è minore della somma degli altri due). Sommando ai due membri della disuguaglianza $ x_1 $ otteniamo $ 2x_1<x_1+x_2+x_3=p $ e pertanto diciamo che
$ x_1<p/2 $.
Sfruttando la (3) ricaviamo
$ x_1=-\frac{r}{x_2x_3}<p/2 $ e quindi $ x_2x_3>-2r/p $.
Dalla (2)
$ x_2x_3=q-x_1x_2-x_1x_3>-2r/p $ e cioè
$ q+2r/p>x_1x_2+x_1x_3 $. In merito a quest’ultima disuguaglianza possiamo scrivere
$ q+2r/p>x_1(x_2+x_3) $
$ \frac {1}{x_1}(q+2r/p)>x_2+x_3>x_1 $ e concludendo
$ x_1^2<q+2r/p $. Poiché tale disuguaglianza deve valere per ogni radice allora deve essere anche
$ x_2^2<q+2r/p $
$ x_3^2<q+2r/p $, infine otteniamo
$ x_1^2+x_2^2+x_3^2<3(q+2r/p) $. Per le relazioni fra i coefficienti e le radici sappiamo che
$ x_1^2+x_2^2+x_3^2=p^2-2q $ e alla fine otteniamo la tanto affannata
$ 5pq-p^3-6r>0 $. Mi auguro che siano problemi di calcoli o una svista innocua altrimenti…. Sono c**zi (per me naturalmente)
Credo di aver scoperto l'arcano,"salvognuno".
Il ragionamento di mark86 ,contrariamente a quello di ReKaio,continua
(purtroppo) a sussistere anche quando una delle radici e' la somma
delle rimanenti.Infatti ,se indichiamo con m,n,m+n [m,n>0] le radici,si ha:
$ p=2(m+n),q=(m+n)^2+mn,r=-mn(m+n) $ e la relazione di mark diventa:
$ 10(m+n)[(m+n)^2+mn]-8(m+n)^3+6mn(m+n)>0. $ ovvero
$ 2(m+n)^3+16mn(m+n)>0 $ che e' vera
Aggiungo anche che la soluzione di ReKaio e' ,per cosi' dire,quella "minimale" ;
infatti la relazione di mark si puo' scrivere cosi':
$ (p^3-4pq-8r)+(14r-pq)<0 $
e poiche' 14r-pq<0,e' evidente che se e' valida la ReKaio e' valida pure la
mark86 ma non necessariamente il viceversa quando appunto fosse x1=x2+x3.
Per concludere, sono i particolari che... rovinano le carriere! (vedi anche
mio post sul pentagono)
Il ragionamento di mark86 ,contrariamente a quello di ReKaio,continua
(purtroppo) a sussistere anche quando una delle radici e' la somma
delle rimanenti.Infatti ,se indichiamo con m,n,m+n [m,n>0] le radici,si ha:
$ p=2(m+n),q=(m+n)^2+mn,r=-mn(m+n) $ e la relazione di mark diventa:
$ 10(m+n)[(m+n)^2+mn]-8(m+n)^3+6mn(m+n)>0. $ ovvero
$ 2(m+n)^3+16mn(m+n)>0 $ che e' vera
Aggiungo anche che la soluzione di ReKaio e' ,per cosi' dire,quella "minimale" ;
infatti la relazione di mark si puo' scrivere cosi':
$ (p^3-4pq-8r)+(14r-pq)<0 $
e poiche' 14r-pq<0,e' evidente che se e' valida la ReKaio e' valida pure la
mark86 ma non necessariamente il viceversa quando appunto fosse x1=x2+x3.
Per concludere, sono i particolari che... rovinano le carriere! (vedi anche
mio post sul pentagono)
Premetto che se risulta x1=x2+x3 allora e' $ p^3-4pq-8r=0 $
(guarda te la combinazione!) .Volendo salvare la tua soluzione si dovrebbe
escludere il caso $ p^3-4pq-8r=0 $ e supporre quindi ,per quanto
gia' dimostrato da ReKaio, $ p^3-4pq-8r<0 $.
In altre parole la tua soluzione equivarrebbe a quella di ReKaio!
(guarda te la combinazione!) .Volendo salvare la tua soluzione si dovrebbe
escludere il caso $ p^3-4pq-8r=0 $ e supporre quindi ,per quanto
gia' dimostrato da ReKaio, $ p^3-4pq-8r<0 $.
In altre parole la tua soluzione equivarrebbe a quella di ReKaio!
La falla e' di natura logica e sta nel fatto che quelle diseguaglianze che hai scritte valgono anche con l'eguale ovvero quando x1=x2+x3 e cioe' nel caso
gia' abbondantemente escluso.E' questo che fa cadere la dimostrazione perche'
non la rende valida solo per i triangoli effettivi ma anche per quelli degeneri.
Fattene una ragione! Ciao.
gia' abbondantemente escluso.E' questo che fa cadere la dimostrazione perche'
non la rende valida solo per i triangoli effettivi ma anche per quelli degeneri.
Fattene una ragione! Ciao.
Beh, insomma...siamo più precisi...
mark, l'idea è questa : in teoria la diseguaglianza che tu trovi dovrebbe trasformarsi in una uguaglianza quando il triangolo è degenere, ovvero quando $ x_1=x_2+x_3 $ (o permutazione di questa).
Questo garantisce (accettalo intuitivamente) il fatto che la tua condizione è minimale.
Che sia minimale vuol dire che, presa una qualunque altra condizione che assicura che le radici siano i lati di un triangolo, la tua la implica.
A questo punto, nella tua dimostrazione va tutto bene finchè non sommi i quadrati delle tre radici dicendo che la diseguaglianza vale anche per le altre radici.
La tua affermazione è vera, ma se ci rifletti vedrai che, se anche
$ x_1^2+x_2^2+x_3^2<3(q+2r/p) $
non è però detto che
$ x_i^2<q+2r/p $ per i=1,2,3.
Potrebbe essere che per i=1 la diseguaglianza non valga, ma per i=2 il primo membro sia abbastanza piccolo da equilibrare la somma di tutti e tre i quadrati.
Prendi ad esempio i tre lati 1,2,3 e p=6, q=11, r=-6 come nell'esempio di karl all'inizio del thread; in questo caso $ x_3^2=9=11-2*6/6=q+2r/p $ e quindi una delle condizioni sulle singole radici da te trovate non viene rispettata, ma la somma dei tre quadrati è minore di 3*9=27.
Quindi il tuo errore è stato sommare le tre relazioni.
Infatti, è vero che basta che
$ x_1^2+x_2^2+x_3^2<3(q+2r/p) $
ma è anche solo sufficiente che
$ x_1^2+x_2^2+x_3^2<2(q+4r/p) $
e ovviamente 2(q+4r/p)<3(q+2r/p), quindi tutte le terne x_i che soddisfano la seconda soddisfano anche la prima, ma non è detto il contrario, ed anzi, se x_1=x_2+x_3, la prima rimane ancora soddisfatta, ma nella seconda si ha l'uguaglianza e quindi il minore stretto non vale più.
Spero di essere stato chiaro.
mark, l'idea è questa : in teoria la diseguaglianza che tu trovi dovrebbe trasformarsi in una uguaglianza quando il triangolo è degenere, ovvero quando $ x_1=x_2+x_3 $ (o permutazione di questa).
Questo garantisce (accettalo intuitivamente) il fatto che la tua condizione è minimale.
Che sia minimale vuol dire che, presa una qualunque altra condizione che assicura che le radici siano i lati di un triangolo, la tua la implica.
A questo punto, nella tua dimostrazione va tutto bene finchè non sommi i quadrati delle tre radici dicendo che la diseguaglianza vale anche per le altre radici.
La tua affermazione è vera, ma se ci rifletti vedrai che, se anche
$ x_1^2+x_2^2+x_3^2<3(q+2r/p) $
non è però detto che
$ x_i^2<q+2r/p $ per i=1,2,3.
Potrebbe essere che per i=1 la diseguaglianza non valga, ma per i=2 il primo membro sia abbastanza piccolo da equilibrare la somma di tutti e tre i quadrati.
Prendi ad esempio i tre lati 1,2,3 e p=6, q=11, r=-6 come nell'esempio di karl all'inizio del thread; in questo caso $ x_3^2=9=11-2*6/6=q+2r/p $ e quindi una delle condizioni sulle singole radici da te trovate non viene rispettata, ma la somma dei tre quadrati è minore di 3*9=27.
Quindi il tuo errore è stato sommare le tre relazioni.
Infatti, è vero che basta che
$ x_1^2+x_2^2+x_3^2<3(q+2r/p) $
ma è anche solo sufficiente che
$ x_1^2+x_2^2+x_3^2<2(q+4r/p) $
e ovviamente 2(q+4r/p)<3(q+2r/p), quindi tutte le terne x_i che soddisfano la seconda soddisfano anche la prima, ma non è detto il contrario, ed anzi, se x_1=x_2+x_3, la prima rimane ancora soddisfatta, ma nella seconda si ha l'uguaglianza e quindi il minore stretto non vale più.
Spero di essere stato chiaro.