Tutto irrazionale

[Leblanc]

Ecco un problema (a mio parere non semplice, ma valutate voi):

Sia $ a $ un numero irrazionale e sia $ n $ un intero maggiore (stretto) di $ 1 $.
Dimostrare che

$ (a + \sqrt{a^2-1})^{\frac{1}{n}} + (a - \sqrt{a^2-1})^{\frac{1}{n}} $
è un numero irrazionale.
A presto!
Maria

[elianto84]

Polinomi di Chebyshev!

$ T_n(x)=\cos(n \arccos x) $
$ T_{n+2}(x)=2xT_{n+1}(x)-T_n(x) $
$ T_n(x+x^{-1})=x^n+x^{-n} $
$ T_n(2a)=(a+\sqrt(a^2-1))^n+(a-\sqrt(a^2-1))^{-n} $

in sostanza si tratta di provare che

$ z=cos(\frac{1}{n} \arccos 2a) $

è irrazionale. Beh, se fosse razionale lo sarebbe pure

$ T_n(z)=2a $

assurdo.

[Simo_the_wolf]

Ecco un problema (a mio parere non semplice, ma valutate voi):

Sia $ a $ un numero irrazionale e sia $ n $ un intero maggiore (stretto) di $ 1 $.
Dimostrare che

$ (a + \sqrt{a^2-1})^{\frac{1}{n}} + (a - \sqrt{a^2-1})^{\frac{1}{n}} $
è un numero irrazionale.
A presto!
Maria

Ok, Pensiamo a levarci di torno quel brutto $ \sqrt{a^2-1} $ che non ci piace per niente... allora: se fosse $ \sqrt{1-a^2} $ potremmo sostituire $ a=\sin{(x)} $ e semplificarci un po' la vita...
In questo caso ci giungono in aiuto le funzioni trigonometriche iberboliche. Come le funzioni trigonometriche goniometriche sono quelle "appartenenti" alla circonferenza $ x^2+y^2=1 $ quelle iperboliche appartengono all'iperbole (equilatera) $ x^2-y^2=1 $. in questo modo abbiamo $ x^2-1=y^2 $ cioè quello che ci servirebbe. Ora, sappiamo che queste funzioni iperboliche sono tali che (non so se è la definizione vera e propria) $ \cosh{(x)}=\frac 12 (e^x+e^{-x}) $ e, sostituendo nell'iperbole avremmo che $ \sinh{(x)}=\frac 12 (e^x-e^{-x}) $. Ora sostituiamo $ a=\cosh{(x)} $ (attenzione che deve essere $ a \geq 1 $, altrimenti i radicandi sarebbero negativi...)
Otteniamo:
$ (\cosh{(x)}+\sinh{(x)})^{1/n}+(\cosh{(x)}-\sinh{(x)})^{1/n} $

Ma, sostituendo $ \cosh{(x)}=\frac 12 (e^x+e^{-x}) $ e $ \sinh{(x)}=\frac 12 (e^x-e^{-x}) $ otteniamo:

$ \displaystyle (\cosh{(x)}+\sinh{(x)})^{1/n}+(\cosh{(x)}-\sinh{(x)})^{1/n}=e^{x/n}+e^{-x/n} $

Ma se $ e^{x/n}+e^{-x/n} $ fosse razionale, lo sarebbe anche $ \frac 12(e^{x}+e^{-x}) =a $ e quindi deve essere per forza irrazionale.

Per esercizio lascerei da dimostrare che:
Se $ \alpha + \alpha ^ {-1} \in Q^{+} $ allora, per ogni naturale $ n $ anche $ \alpha^n + \alpha ^ {-n} \in Q^{+} $

Naturalmente, all'inizio,si può dire che, essendo $ a>1 $ allora esisterà un reale positivo $ r $ tale che $ r+r^{-1}=2a $ (la sostituzione chiave!!) e che la quantità desiderata non è altro che $ r^{1/n}+r^{-1/n} $ che non può essere razionale altrimenti anche $ a $ lo sarebbe.

[Simo_the_wolf]

Se $ \alpha + \alpha ^ {-1} \in Q^{+} $ allora, per ogni naturale $ n $ anche $ \alpha^n + \alpha ^ {-n} \in Q^{+} $

Va bè, visto che nessuno l'ha dimostrato, finisco la mia dimostrazione...

Procediamo per induzione. Per $ n=0,1 $ è vero (uno per ipotesi, l'altro perchè uguale a $ 2 $). Ora supponiamolo vero per tutti i naturali fino ad $ n $ e volgliamo dimostrarlo per $ n+1 $.
Osserviamo che:
$ \displaystyle \alpha^{n+1}+ \frac 1{\alpha^{n+1}}= $ $ \displaystyle \left( \alpha+ \frac 1{\alpha} \right)\left( \alpha^{n}+ \frac 1{\alpha^{n}} \right) - $ $ \displaystyle \left( \alpha^{n-1}+ \frac 1{\alpha^{n-1}} \right) $

Quindi ovviamente anche per $ n+1 $ la tesi è vera in quanto somme e prodotti di numeri razionali sono sempre razionali