diseguaglianza

[mario86x]

è possibile anche che mi sia sbagliato, spero di no, cmq provate a dimostrare che:

$ (2a^3+2ab^2+a^2-b^2)(a^2+2a+b^2)>=9(a^4-b^4) $

con $ a>b>0 $


P.S. come si farà il maggiore o uguale?

[Marco]

Codice: Seleziona tutto

\leq \geq \leqslant \geqslant

$ \leq \geq \leqslant \geqslant $

[HiTLeuLeR]

Rimestando opportunamente i due membri, ci si riduce a dimostrare che, per ogni $ a, b \in \mathbb{R} $, con $ a \geq b \geq 0 $: $ a^2(a-1)^2 + ab^2(2a^2 + 2a - 1) + (a+4)b^4 \geq 0 $, o semplicemente che $ a^2(a-1)^2 + ab^2(2a^2 + 2a - 1)\geq 0 $. Quest'è banale se $ 2a^2 + 2a - 1 \geq 0 $, ovvero se $ a \geq (\sqrt{3}-1)/2 $. Se poi $ 0 \leq b \leq a < (\sqrt{3}-1)/2 < 1 $, allora $ a^2(a-1)^2 + ab^2(2a^2 + 2a - 1) $ $ \geq a^2(a-1)^2 + a^3(2a^2 + 2a - 1) = $ $ a^2(3a^3 + (1-a)^3) \geq 0 $.