Diofantee "Normali"...

[Spider]

Dimostrare che non esistono soluzioni in numeri naturali alle due equazioni:

a) $ 41 = 2^n - 3^m $
b) $ 41 = 3^n - 2^m $

Salvatore

PS: Test Ammissione sns 1994/95

[post233]

Dimostrare che non esistono soluzioni in numeri naturali alle due equazioni:...b) $ 3^n-2^m=41 $

Consideriamo l'equazione in modulo 4: non essendoci soluzioni per m<2, otteniamo $ 3^n\equiv 1 (mod 4) $, dunque n deve essere pari.
Osserviamola ora in modulo 10: essendo n pari, l'ultima cifra di $ 3^n $ sarà necessariamente 9 o 1, dunque l'ultima cifra di $ 2^m $ dovrà essere 8 o 0. Essendo la seconda opzione impossibile per una potenza di 2, dobbiamo accogliere la prima, che ci porta a $ m\equiv 3 (mod 4) $, dunque m è dispari.
Osserviamo infine l'equazione in modulo 9: poiché non abbiamo soluzioni per n<2, essa diventa: $ 2^m\equiv 4 (mod 9) $: osservando i residui modulo 9 delle potenze di 2, notiamo che essi sono 2,4,8,7,5,1: potendo prendere solo quelli per esponente dispari, abbiamo 2,8,5, dovendo escludere così anche 4. Pertanto l'equazione è impossibile.

[phi]

a)
Consideriamo l'equazione modulo 8. Abbiamo che 2==2(mod8), 2^2==4 mod 8, e tutte le altre potenze di due sono congrue a 0 modulo 8; per quanto riguarda le potenze di 3, i loro residui modulo 8 sono 3 e 1. Poiché 41==1 mod 8 non è possibile che sia n>2, e quindi l'equazione non ha soluzioni.

Uff, battuta sul tempo... meno male che almeno la a me l'hai lasciata!

[Martino]

Ciao, ecco come ho risolto la a).

a) $ 41 = 2^n - 3^m $

Suppongo $ n \ge 3 $ e faccio la congruenza modulo 8, risulta:

$ -3^m \equiv 1 mod(8) $
$ 3^m \equiv 7 mod(8) $

Ma le potenze di 3 modulo 8 dànno solo 1 e 3, quindi l'equazione è impossibile.

Restano da verificare a mano i facili casi n=0, n=1 e n=2. In tutti e tre questi casi risulta $ 3^m<0 $, impossibile.