funzioni continue

[hydro]

ciao a tutti!

sono stato colpito da un dubbio oggi risolvendo un esercizio a proposito delle funzioni continue sul mio libro di analisi. il testo recitava ciò:

$ y=sinx+2, x \in Q $

$ y=sinx+k, x \not\in Q $

ora, alla domanda di analizzare la specie dei punti di discontinuità della funzione, il mio libro riporta come soluzione:

" $ \forall k \neq 2 $ punti di discontinuità di seconda specie"

ma guardando la definizione di punto di discontinuità di seconda specie, i punti della funzione non mi sembra rispondano ai canoni dettati dalla definizione (in quanto essa richiede che il limite nel punto in questione non esista o sia infinito), quanto più a quella di punto di discontinuità di prima specie. Com'è possibile? il libro è sbagliato o sbaglio io?

[EvaristeG]

Infatti, il limite della funzione in un punto qualsiasi non esiste ...
Se scegli una successione $ \{x_n\} $ che tende a un x, fatta di soli numeri razionali, avrai che il limite di $ f(x_n) $ sarà $ \sin x + 2 $, se invece scegli una successione di soli numeri irrazionali, avrai che il limite della suddetta è $ \sin x + k $.
Quindi in ogni punto essa sarà discontinua, poichè esistono due successioni che tendono al punto sulle quali la funzione tende a limiti diversi e dunque il limite della funzione nel punto non esiste.

[hydro]

cioè, se ho ben capito,nonostante la funzione sia definita su tutto
$ R $, anche se in ogni punto $ x_{n} $ la funzione esiste, non esiste il limite in tal punto poichè è impossibile determinare se il valore da considerare per il calcolo di esso sia razionale o irrazionale, giusto?

[Marco]

cioè, se ho ben capito,nonostante la funzione sia definita su tutto
$ R $, anche se in ogni punto $ x_{n} $ la funzione esiste, non esiste il limite in tal punto poichè è impossibile determinare se il valore da considerare per il calcolo di esso sia razionale o irrazionale, giusto?

Ehmmm, non proprio...

in ogni punto $ x_{n} $ la funzione esiste

Questo è senz'altro vero.

è impossibile determinare se il valore da considerare per il calcolo [del limite] sia razionale o irrazionale

Questo invece non ha un significato chiaro.

Diciamolo meglio: il trucco che sta sotto l'esercizio è che, fissato un qualunque x reale, puoi costruire una successione di razionali che tende a x, ma anche una successione di irrazionali che tende a x.

Supponi che il limite esista (i.e. la funzione data è continua in x). Allora applicando f ai termini della successione devi convergere a f(x). Ma la prima successione è costante e vale sin(x) + 2, che tende a sin(x) + 2. La seconda è costante e vale sin(x) + k, che tende a sin(x) + k. E se k è diverso da 2 non ci sono santi: non torna.

Nota che il sin(x) è solo fumo negli occhi: l'esercizio non era sostanzialmente diverso da:

Dimostrare che, se k è diverso da 0, la funzione che vale k sui razionali e 0 altrove non è continua in nessun punto.

Un po' meglio?