Dimostrare che se $ p $ e $ q $ sono numeri razionali allora
$ \tan ({ }\arctan p +\arctan q { }) $
è anch'esso un numero razionale.
Tangente razionale
Posto $ \alpha=\arctan p $ e $ \beta=\arctan q $ (da cui $ \tan p=\alpha $ e $ \tan q=\beta $ il primo membro diventa $ \tan{( \alpha +\beta)} = \frac {\tan \alpha +\tan \beta} {1- \tan \alpha \tan \beta}= \frac {p+q} {1-pq} $ e ne segue la tesi.
Qualche libro di testo (pochi) riporta la formula per la differenza; scritta come $ \arctan p - \arctan q = \arctan {\frac {p-q} {1+pq}} $ può essere utile al termine di calcoli di integrali definiti. Esiste anche una formula per la differenza di due arcsin, ricavabile nello stesso modo, ma coinvolge anche delle radici.
Qualche libro di testo (pochi) riporta la formula per la differenza; scritta come $ \arctan p - \arctan q = \arctan {\frac {p-q} {1+pq}} $ può essere utile al termine di calcoli di integrali definiti. Esiste anche una formula per la differenza di due arcsin, ricavabile nello stesso modo, ma coinvolge anche delle radici.