sia data la successione
$ a_n = 49 + 2^n $
determinare tutti gli $ n $ per cui $ a_n $ e $ a_{n+1} $ siano ambedue prodotti di due numeri primi distinti di differenza uguale.
Good luck
P.S. ESCLUSIVAMENTE per liceali... ciao ciao
successione
Cerchiamo n t.c. $ a_n=p(p+d), a_{n+1}=(p+k)(p+k+d) $ con p, p+d, p+k, p+k+d tutti primi dispari.
Uno fra $ a_n $ e $ a_{n+1} $ è certamente multiplo di tre (basta vedere la successione mod 3), quindi p=3.
Abbiamo $ a_{n+1}-a_n=2^n=k(k+d+6) $, quindi k è una potenza di due. Se k>2 allora $ 6+d=3+3+d\equiv 0 \pmod 4 $, da cui (visto che 3+d dev'essere dispari) $ 3(3+d) \equiv 3 \pmod 4 $ assurdo, poichè per n>1, a_n==1 (mod 4). Quindi k=2.
Ricapitolando:
$ a_n=49+2^n=3(3+d) $
$ a_{n+1}=49+2^{n+1}=5(5+d) $
Risolvendo si ha $ 2^n=128 \longrightarrow n=7 $ che effettivamente è soluzione.
Abbiamo trascurato il caso n=1, ma si fa a mano e si vede che non funziona.
Ciao!
Uno fra $ a_n $ e $ a_{n+1} $ è certamente multiplo di tre (basta vedere la successione mod 3), quindi p=3.
Abbiamo $ a_{n+1}-a_n=2^n=k(k+d+6) $, quindi k è una potenza di due. Se k>2 allora $ 6+d=3+3+d\equiv 0 \pmod 4 $, da cui (visto che 3+d dev'essere dispari) $ 3(3+d) \equiv 3 \pmod 4 $ assurdo, poichè per n>1, a_n==1 (mod 4). Quindi k=2.
Ricapitolando:
$ a_n=49+2^n=3(3+d) $
$ a_{n+1}=49+2^{n+1}=5(5+d) $
Risolvendo si ha $ 2^n=128 \longrightarrow n=7 $ che effettivamente è soluzione.
Abbiamo trascurato il caso n=1, ma si fa a mano e si vede che non funziona.
Ciao!