trovare tutte le funzioni $ \mathbb{Q}\rightarrow\mathbb{R} $ tali che:
1) $ f(x+y) - yf(x)-xf(y)=f(x)f(y)-x-y+xy $
2) $ f(x)=2f(x+1)+2+x $
3) $ f(1)+1>0 $
ciao ciao(questa mi piace proprio tanto)
P.S. ...SOLO per liceali
funzionale(3)
Riscrivo le tre condizioni cosi':
1) $ f(x+y)+x+y=f(x)f(y)+ yf(x)+xf(y)+xy $$ =[fx)+x][f(y)+y] $
2) $ f(x)+x=2f(x+1)+2+2x $
3) $ f(1)+1>0 $
Sostituisco $ g(x)= f(x)+x $ e le tre condizioni diventano:
1) $ g(x+y)=g(x)g(y) $
2) $ g(x)=2g(x+1) $
3) $ g(1)>0 $
La 1 è abbastanza 'standard' e ha come soluzioni $ g(x)= k^x $ o $ g(x)=0 $. Per dimostrarlo noto innanzitutto che se $ g(k)=0 $ per qualche k allora ponendo y=k si ha che la funzione è identicamente nulla.
Altrimenti, la funzione è sempre positiva perchè $ g(z)=g(\frac{z}{2})^2 $ (si ottiene ponendo $ x=y=\frac{z}{2} $). Prendendo il logaritmo di entrambi i membri e definendo la funzione $ h(x)= \log{f(x)} $ si ottiene, dato che quella che si ottiene è l'equazione di Cauchy $ h(x+y)= h(x)+h(y) $, $ h(x)=cx $ per ogni x razionale; da cui $ g(x)= k^x $.
La 2 da un'altra informazione: $ k=1/2 $ (perchè $ k^x= 2k^{x+1} $).
La 3 ci dice che la funzione costantemente uguale a 0 non va bene.
Dunque l'unica soluzione è $ f(x)= 2^{-x}-x $.
Ciao!
Maria
1) $ f(x+y)+x+y=f(x)f(y)+ yf(x)+xf(y)+xy $$ =[fx)+x][f(y)+y] $
2) $ f(x)+x=2f(x+1)+2+2x $
3) $ f(1)+1>0 $
Sostituisco $ g(x)= f(x)+x $ e le tre condizioni diventano:
1) $ g(x+y)=g(x)g(y) $
2) $ g(x)=2g(x+1) $
3) $ g(1)>0 $
La 1 è abbastanza 'standard' e ha come soluzioni $ g(x)= k^x $ o $ g(x)=0 $. Per dimostrarlo noto innanzitutto che se $ g(k)=0 $ per qualche k allora ponendo y=k si ha che la funzione è identicamente nulla.
Altrimenti, la funzione è sempre positiva perchè $ g(z)=g(\frac{z}{2})^2 $ (si ottiene ponendo $ x=y=\frac{z}{2} $). Prendendo il logaritmo di entrambi i membri e definendo la funzione $ h(x)= \log{f(x)} $ si ottiene, dato che quella che si ottiene è l'equazione di Cauchy $ h(x+y)= h(x)+h(y) $, $ h(x)=cx $ per ogni x razionale; da cui $ g(x)= k^x $.
La 2 da un'altra informazione: $ k=1/2 $ (perchè $ k^x= 2k^{x+1} $).
La 3 ci dice che la funzione costantemente uguale a 0 non va bene.
Dunque l'unica soluzione è $ f(x)= 2^{-x}-x $.
Ciao!
Maria