Girotondo

[Oblomov]

Sotto al mio terrazzo ci sono degli stramaledettcarinissimibimbi che mi rompano facendo in continuazione il girotondo.
Noto che ognuno di loro ha un cappello colorato e vorrebbero provare a fare tutti i diversi girotondo possibili;e qui si entra nella combinatoria pesa.
Dunque,ci sono N bambocci e M colori diversi di cappelli(se M<N,ci saranno almeno due bambini con lo stesso colore di berretto).Loro vorrebbero mettersi in tutte le disposizioni possibili(considerando solo il loro colore di cappello),ma,come già detto,sono in cerchio e non in fila(quindi bisogna considerare le possibili simmetrie,se no sarebbe troppo facile).
1)Dati M ed N,come si trova il numero Z di girotondi diversi?
Io penso che due diposizioni identiche,ma una in senso orario e l'altra in senso antiorario,siano da cosiderarsi uguali.Ma come cambia la funzione F(M,N) se li considero differenti.
2,più facile)Diciamo che ci sono cinque bambini e che ognuno abbia un berreto diverso.Se provano un girotondo diverso al secondo(scatenati come sono non me ne stupirei),riusciranno a provare tutte le configurazioni diverse prima che io li abbatta a fucilate(tempo necessario per caricare il mio fedele Mastino a sale grosso:cinque minuti)?
Mi potete aiutare?Formule,procedimenti,consigli per caricare velocemente e fare più male?
Grazie in anticipo.
Io ODIO quei pampini...

[xxalenicxx]

Ciao, forse non ho capito bene:
1. Se M = 1 (tutti i berretti dello stesso colore), gli N bambini si possono distintinguere tra di loro oppure no? Quindi se non si distinguono il numero di girotondi dovrebbe essere N.

2. M è il numero dei colori distinti, e se M<N ci saranno sicuramente 2 bambini con lo stesso colore di berretto, la domanda è: se ad esempio M = 2 (rosso,giallo) ed N = 4 io posso avere che i 4 bambini possono indossare in 3 modi diversi i berretti: {R,R,R,G}, {R,R,G,G}, {G,G,G,R}. Quindi devo considerare tutti i 3 modi possibili di indossare i berretti o solo 1 dei tre???

Grazie.

[Oblomov]

Donc,cerco di spiegarmi meglio.
1) Se tutti i bambini hanno il cappello dello stesso colore,non ha senso distinguere un girotondo da un altro,e quindi F(1,N) é sempre 1
2) Pensa a N bambini in fila,ciascuno con un cappello,con M colori di cappello presenti.Se vuoi sapere le F(M,N) possibili serie di colori che possono formare,non é difficile trovare tale valore con la combinatoria.
Se però i bambini sono in cerchio,compaiono molte simmetrie che ti obbligano a cassare diverse soluzioni,ad es.:{R,G,G,V} é uguale a {G,V,R,G} e non devi considerarle come distinte.
Spero che ora si capisca.
Credo sia davvero un problema difficile e contoso (sicuramente al di sopra delle mie possibilità).
Su,provateci!
Oblomov

[enomis_costa88]

2,più facile)Diciamo che ci sono cinque bambini e che ognuno abbia un berreto diverso.Se provano un girotondo diverso al secondo(scatenati come sono non me ne stupirei),riusciranno a provare tutte le configurazioni diverse prima che io li abbatta a fucilate(tempo necessario per caricare il mio fedele Mastino a sale grosso:cinque minuti)?

Penso di interpretare bene il problema supponendo d'avere 5 berretti diversi per 5 bambini diversi
Nella sua forma generale (così vi do un altro problema su cui cimentarvi ) questo secondo problema è veramente un classico (vedi Engel pag 100 problema numero 2) !

3) n persone (distinte..niente cloni o gemelli) si siedono attorno ad un tavolo. Quante delle n! "permutazioni" sono distinte? 2 "permutazioni" si considerano equivalenti se tutte le persone hanno gli stessi vicini.

PS mi sa che devi velocizzarti un po' se vuoi abbatterli

[Oblomov]

Che cusedere schifoso!
Su un libro ho trovato questa formula bella (ma complicatissima).Dunque:
N=numero di mocciosi
M=possibili colori dei berrettini
$ \phi(x) $= funzione di Eulero=quanti sono i numeri inferiori a x primi con x
$ d_k $=k-esimo divisore di N,contando 1 e N
G=numero totale di divisori
$ \displaystyle F(M,N)=[A+{\sum_{k=1}^{G} (\phi(d_k)*M^{n/d_k})}]/2N $
se N é dispari,A=$ N*M^{(n+1)/2} $,se é pari é $ \displaystyle \frac{N}{2}*(1+M)*M^{n/2} $
Che ve ne pare?
Ah,che bello guardare il panorama dalla mia finestra:il tramonto,San Luca e relativo portico,e,soprattutto,i bambini che urlano dal dolore dei colpi a sale...sublime,proprio sublime
Ciao!