Una funzione del cavoletto

[Oblomov]

Altri quesiti,tanti e tanto carini.
Dovete sapere che io detesto i cavoletti di Bruxelles.E ciononstante quel grande cuoco che é mio padre (celebri la sua zuppa bruciata di fagioli e l'uovo all'occhio di bue coi capperi sopra) me li ha dati da mangiare lo stesso.Quindi ho deciso di scendere a patti con lui.
1)Mi ha messo M cavolini di Bruxelles.Io li divido a gruppi di due.Se c'é un cavolo d'avanzo lo magno.
2)Quale che sia l'esito della prima divisione (cavolo mangiato o no),io divido a gruppi di tre.Se ci sono cavoli avanzati (1 o 2)li mangio.
3)Quale che sia l'esito della seconda divisione (cavoli mangiati o no),io divido a gruppi di quattro.Se ci sono cavoli avanzati (1,2 o 3)li mangio.
...
n)Quale che sia l'esito della (n-1)esima divisione (cavoli mangiati o no),io divido a gruppi di (n+1).Se ci sono cavoli avanzati (1,2,3,...n)li mangio.
Passo a dividere per tutti i numeri minori di M.Quando ho diviso per tutti i numeri mi fermo.
Qualche domanda:
A)Come si può esprimere il numero C di cavoletti mangiati come funzione di M?Va bene anche con funzione di Elero,fattoriali e simili.
B)Qual'é il miglior rapporto possibile tra M e C?Per quale valore di M si ottiene?
Idee?Estensioni?
Ciao/ciao

[HiTLeuLeR]

Poniamo $ m_1 = M, c_1 = 0 $ e quindi (ricorsivamente) $ \displaystyle m_{i+1} = \left\lfloor\frac{m_i}{i+1}\right\rfloor \cdot (i+1) $ e $ c_{i+1} = c_i + m_i - m_{i+1} $, per ogni $ i=1, 2, \ldots, M-2 $ (supponiamo $ M > 2 $). Per induzione $ C = c_{M-1} = M - m_{M-1} $. Se adesso a qualcuno viene voglia di giocherellare un po' con certe espressioni...

[moebius]

Tanto per capirsi, quando il numero di cavoletti diventa minore del numero per cui dividi ti fermi? Perchè altrimenti è ovvio che li mangi tutti

[Oblomov]

Quando il numero di cavoletti diventa minore del numero per cui dividi ti fermi?

Ehm,credevo di averlo scritto.Chiedo scusa.
Ovviamente,la risposta é sì.
Allora?Niente?
Non oso chiedere ad HiTLeuLeR di spiegare quello che ha scritto.Ma in pratica come si conclude questo problema?
Ciao!

[moebius]

Dico una banalità... Se i cavoletti sono 2 non ne mangi nessuno (ed è l'unico caso in cui questo succede, essendo la funzione C(M) non decrescente).
Per i casi successivi, sono riuscito solamente a trovare una maggiorazione (alquanto banale) al numero di cavoletti mangiati del tipo:
$ \left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor-1\leq C\leq \frac{1}{2}\cdot\left(\left\lceil \frac{\sqrt{9+8M}-3}{2}\right\rceil^2 - \left\lceil \frac{\sqrt{9+8M}-3}{2}\right\rceil\right) $
che dice poco o nulla