Se p è primo, 3^p - 2^p - 1 è divisibile per 42p
Se p è primo, 3^p - 2^p - 1 è divisibile per 42p
Mostrare che $ 42p \mid (3^p - 2^p - 1) $, per ogni primo naturale p > 3.
Possiamo dimostrare separatamente che:
$ 42|(3^p-2^p-1) $ e che $ p|(3^p-2^p-1) $.
Questo ci permette di verificare la tesi per tutti i primi eccetto quelli che dividono
$ 42 $,che sono $ 2,3,7 $.
A)$ 3^p-2^p-1\equiv 0\bmod 42 $
Essendo $ 42=2*3*7 $,possiamo dimostrare separatamente le seguenti
1)$ 3^p-2^p-1\equiv 0\bmod 2 $
2)$ 3^p-2^p-1\equiv 0\bmod 3 $
3)$ 3^p-2^p-1\equiv 0\bmod 7 $
La prima è verificata per qualsiasi valore di $ p $,la seconda è verifcata per ogni $ p $ dispari.Questa soluzione esclude quindi,tra i numeri primi,solo il $ 2 $.
Per la terza,vediamo che essa è verificata per $ p\equiv 1\vee 5\bmod 6 $.
Infatti abbiamo che
$ 3^5\equiv 5\bmod 7 $ e $ 2^5\equiv 4\bmod 7 $
$ 3^7\equiv 3\bmod 7 $ e $ 2^7\equiv 2\bmod 7 $
Quindi per $ p=5 $ e $ p=7 $ la (3) è verificata.
Ora,verifichiamo che $ 3^{k+6}\equiv 3^k\bmod 7 $ e che $ 2^{k+6}\equiv 2^k\bmod 7 $ per $ k\in N $
Infatti abbiamo che
$ 3^6\equiv 1\bmod 7 $ e $ 2^6\equiv 1\bmod 6 $ per il piccolo teorema di Fermat.In definitiva,la (3) è verificata per $ p\equiv 1\vee 5\bmod 6 $.Questa soluzione escude quindi,tra i numeri primi,solo il valore $ p=3 $.
Possiamo dunque concludere che,per ogni primo p>3.
B)$ 3^p-2^p-1\equiv 0\bmod p $
Segue direttamente dal piccolo teorema di Fermat,in quanto $ a^p\equiv a\bmod p $ se p è primo e se $ (a,p)=1 $.
Quindi,per p>3,anche la (B) è verificata.
Dalle relazioni (A) e (B) deduciamo dunque che
$ 42p|3^p-2^p-1 $ per p>3 e $ p\neq 7 $.
Ci resta ora solo da verificare il caso $ p=7 $
Abbiamo che $ 42*7=294|2058=3^7-2^7-1 $.
$ 42|(3^p-2^p-1) $ e che $ p|(3^p-2^p-1) $.
Questo ci permette di verificare la tesi per tutti i primi eccetto quelli che dividono
$ 42 $,che sono $ 2,3,7 $.
A)$ 3^p-2^p-1\equiv 0\bmod 42 $
Essendo $ 42=2*3*7 $,possiamo dimostrare separatamente le seguenti
1)$ 3^p-2^p-1\equiv 0\bmod 2 $
2)$ 3^p-2^p-1\equiv 0\bmod 3 $
3)$ 3^p-2^p-1\equiv 0\bmod 7 $
La prima è verificata per qualsiasi valore di $ p $,la seconda è verifcata per ogni $ p $ dispari.Questa soluzione esclude quindi,tra i numeri primi,solo il $ 2 $.
Per la terza,vediamo che essa è verificata per $ p\equiv 1\vee 5\bmod 6 $.
Infatti abbiamo che
$ 3^5\equiv 5\bmod 7 $ e $ 2^5\equiv 4\bmod 7 $
$ 3^7\equiv 3\bmod 7 $ e $ 2^7\equiv 2\bmod 7 $
Quindi per $ p=5 $ e $ p=7 $ la (3) è verificata.
Ora,verifichiamo che $ 3^{k+6}\equiv 3^k\bmod 7 $ e che $ 2^{k+6}\equiv 2^k\bmod 7 $ per $ k\in N $
Infatti abbiamo che
$ 3^6\equiv 1\bmod 7 $ e $ 2^6\equiv 1\bmod 6 $ per il piccolo teorema di Fermat.In definitiva,la (3) è verificata per $ p\equiv 1\vee 5\bmod 6 $.Questa soluzione escude quindi,tra i numeri primi,solo il valore $ p=3 $.
Possiamo dunque concludere che,per ogni primo p>3.
B)$ 3^p-2^p-1\equiv 0\bmod p $
Segue direttamente dal piccolo teorema di Fermat,in quanto $ a^p\equiv a\bmod p $ se p è primo e se $ (a,p)=1 $.
Quindi,per p>3,anche la (B) è verificata.
Dalle relazioni (A) e (B) deduciamo dunque che
$ 42p|3^p-2^p-1 $ per p>3 e $ p\neq 7 $.
Ci resta ora solo da verificare il caso $ p=7 $
Abbiamo che $ 42*7=294|2058=3^7-2^7-1 $.
Ecco la mia (per molti versi simile alla Igor's): poiché p è un primo > 3, necessariamente $ p = 6k \pm 1 $, per qualche $ k \in \mathbb{Z}^+ $, e perciò $ \varphi(3) \mid (p-1) $. Dunque $ 3^p - 2^p - 1 \equiv -2 - 1 \equiv 0 \bmod 3 $, per il teorema di Euler-Fermat. D'altro canto, banalmente $ 3^p - 2^p - 1 \equiv 1^p - 1 \equiv 0 \bmod 2 $. Inoltre $ 3^p - 2^p - 1 \equiv 3^{\pm 1} - 2^{\pm 1} - 1 \equiv 0 \bmod 7 $, ove le potenze negative si interpretano in termini di inversi aritmetici. Infine $ 3^p - 2^p - 1 \equiv 3 - 2 - 1 \equiv 0 \bmod p $, per il piccolo teorema di Fermat. Perciò, se p > 3 e $ p \neq 7 $, allora di certo $ 42p \mid (3^p - 2^p - 1) $. D'altronde $ 3^7 - 2^7 - 1 = 2 \cdot 6 \cdot 7^3 $. Fine!? 