Un problema carino dalla dispensa sulle disuguaglianze di Thomas Mildorf.
Sia $ P(x) $ un polinomio con coefficienti positivi. Dimostrare che se
$ \displaystyle P\left(\frac{1}{x}\right) \geq \frac{1}{P(x)} $
è vera per $ x = 1 $, allora è vera per ogni $ x > 0 $.
Spider
Se P(1) >= 1/P(1)...
Diciamo di scrivere il nostro polinomio come $ \displaystyle \sum_{i=0}^n {a_i}x^{i} $
Allora, per l'ormai mitico Cauchy Schwarz, abbiamo:
$ \displaystyle \bigg(\sum_{i=0}^n {a_i}x^{i}\bigg)\bigg(\sum_{i=0}^n {a_i}\frac{1}{x^{n}}\bigg) \ge \bigg(\sum_{i=0}^n a_i\bigg)^{2} $
A sinistra abbiamo $ \displaystyle P(x)P\Big(\frac{1}{x}\Big) $ mentre a destra abbiamo $ P(1)^{2} $, maggiore di 1 per ipotesi.
Allora, per l'ormai mitico Cauchy Schwarz, abbiamo:
$ \displaystyle \bigg(\sum_{i=0}^n {a_i}x^{i}\bigg)\bigg(\sum_{i=0}^n {a_i}\frac{1}{x^{n}}\bigg) \ge \bigg(\sum_{i=0}^n a_i\bigg)^{2} $
A sinistra abbiamo $ \displaystyle P(x)P\Big(\frac{1}{x}\Big) $ mentre a destra abbiamo $ P(1)^{2} $, maggiore di 1 per ipotesi.
