Una simpatica balcanica

[post233]

Per $ a,b,c $ reali positivi, si dimostri che

$ \displaystyle \frac{2}{b(a+b)}+\displaystyle \frac{2}{c(b+c)}+\displaystyle \frac{2}{a(c+a)}\geq \displaystyle \frac{27}{{(a+b+c)}^2} $

[frengo]

innanzitutto per riarrangiamento:

$ \displaystyle \frac{2}{b(a+b)}+\displaystyle \frac{2}{c(b+c)}+\displaystyle \frac{2}{a(c+a)}\geq \frac{2}{c(a+b)}+\displaystyle \frac{2}{a(b+c)}+\displaystyle \frac{2}{b(c+a)} $

rimane da dimostrare quindi che

$ \displaystyle \frac{2}{c(a+b)}+\displaystyle \frac{2}{a(b+c)}+\displaystyle \frac{2}{b(c+a)}\geq \displaystyle \frac{27}{{(a+b+c)}^2} $

$ \displaystyle \frac{{(a+b+c)}^2}{c(a+b)}+\displaystyle \frac{{(a+b+c)}^2}{a(b+c)}+\displaystyle \frac{{(a+b+c)}^2}{b(c+a)}\geq \displaystyle \frac{27}{2} $

$ \displaystyle \frac{(a+b)^2+2c(a+b)+c^2}{c(a+b)}+\displaystyle \frac{(b+c)^2+2a(b+c)+a^2}{a(b+c)}+ $$ \displaystyle \frac{(c+a)^2+2b(c+a)+b^2}{b(c+a)}\geq \displaystyle \frac{27}{2} $

$ \displaystyle \sum\limits_{cycl}\frac{a+b}{c}+6+\sum\limits_{cycl}\frac{a}{b+c}\geq\frac{27}{2} $

$ \displaystyle 2\sum\limits_{sym}\frac{a}{b}+6+\sum\limits_{cycl}\frac{a}{b+c}\geq\frac{27}{2} $

dato che $ \displaystyle \sum\limits_{sym}\frac{a}{b}\geq6 $ per AM-GM e per nesbitt

$ \displaystyle 2\sum\limits_{sym}\frac{a}{b}+6+\sum\limits_{cycl}\frac{a}{b+c}\geq 12+6+\frac{3}{2}=\frac{27}{2} $

ciao ciao

[post233]

Ok, perfetto.

[Franchifis]

Che significa "per riarrangiamento"?

[frengo]

le disuguaglianze di riarrangiamento dicono questo:

date due n-uple di numeri positivi $ a_1\leq a_2\leq \ldots\leq a_n $ e $ b_1\leq b_2\leq\ldots\leq b_n $ valgono le seguanti disuguaglianze:

$ a_1b_1+a_2b_2+\ldots+a_nb_n\geq a_1b_{\sigma_1}+a_2b_{\sigma_2}+ $$ \ldots+a_nb_{\sigma_n}\geq a_1b_n+a_2b_{n-1}+\ldots+a_nb_1 $

dove $ \sigma $ rappresenta una permutazione dell'insieme $ \{1,2,\ldots,n\} $.

In parole povere, tra tutti i modi di accoppiare gli a_k e i b_k, quello che dà il numero più grande è quando il più grande è accoppiato col più grande e così via fino ai due più piccoli insieme.Il modo che dà il numero più piccolo è quando invece i numeri sono accoppiati in ordine inverso.

questa volta l'ho usata con
$ \displaystyle a_1=\frac{1}{a},a_2=\frac{1}{b},a_3=\frac{1}{c} $
$ \displaystyle b_1=\frac{1}{b+c},b_2=\frac{1}{a+c},b_3=\frac{1}{a+b} $

visto che
$ \displaystyle \frac{1}{a}\geq\frac{1}{b}\geq\frac{1}{c}\rightarrow\frac{1}{b+c}\leq\frac{1}{a+c}\leq\frac{1}{a+b} $

ho usato la seconda delle due disuguaglianze di riarrangiamento:

$ \displaystyle \frac{1}{b(a+b)}+\frac{1}{c(b+c)}+\frac{1}{a(c+a)}\geq\frac{1}{c(a+b)}+\frac{1}{a(b+c)}+\frac{1}{b(c+a)} $